Question

空間有一靜電場，在x軸上的電場方向豎直向下，軸上的電場強度大小按E=kx分布（x是軸上某點到O點的距離），如圖1所示．在O點正下方有一長為L的絕緣細線連接A、B兩個均帶負電的小球（可視為質(zhì)點），A球距O點的距離為L，兩球恰好靜止，細繩處于張緊狀態(tài)．已知A、B兩球質(zhì)量均為m，B所帶電量為-q，k=

mg

3qL

，不計兩小球之間的靜電力作用．
（1）求A球的帶電量；
（2）畫出A球所受電場力F與x的圖象；剪斷細線后，A球向上運動，求A球運動的最大速度v_m；（提示：借助圖2F-x圖象可以確定電場力做功的規(guī)律）
（3）剪斷細線后，求B球的運動范圍．

Answer 1

分析：（1）選取AB組成的整體為研究的對象，寫出平衡方程，即可求得A的電量；
（2）根據(jù)電場強度大小按E=kx分布，畫出A球所受電場力F與x的圖象；當A球受到的重力與電場力相等時，受到最大；根據(jù)動能定理即可求得A球運動的最大速度；
（3）剪斷細線后，B球的先向下做加速運動，隨受到的電場力的增大，加速度減小，所以B球做加速度減小的加速運動；當電場力大于重力之后，小球B做減速運動，直至返回．根據(jù)它受力的特殊性和運動的對稱性即可求解．

解答：解：（1）A、B兩球靜止時，A球所處位置場強為：E1=k?L=

mg

3q

B球所處位置場強為：E2=k?2L=

2mg

3q

對A、B由整體法得：2mg=q_AE₁+qE₂
解得：q_A=4q
（2）A球所受電場力F與x的圖象如圖所示：

剪斷細線后，A球向上運動，當A球的加速度為零時，速度達到最大，此時A球距O點距離為：
x₁mg=4qE=4q

mg

3qL

x1
解得：x1=

3L

4

剪斷細線后，A球從運動到獲得最大速度，A球上升的高度為：△x1=

L

4

由動能定理得：-mg△x1+

.

F

A△x1=

1

2

mvm2-0
由圖象可知，可得：

.

F

A=

mg+ 4 3 mg

2

=

7

6

mg
解得：vm=

gL 12

（本題也可由F-x圖象中圖線與x軸所夾的面積求電場力做功）
（3）方法一：剪斷細線后，設(shè)B球向下運動的最大位移為△x時，速度變?yōu)榱?nbsp;此時B球所受電場力為：FB=q

mg

3qL

(2L+△x)=

mg

3L

(2L+△x)
由動能定理得：mg△x-

.

F

B△x=0-0

.

F

B=

2mg 3 + (2L+△x)mg 3L

2

解得：△x=2L則B球的運動范圍是：2L≤x≤4L
方法二：B球下落速度達到最大時，B球距O點距離為：x₀mg=qE=q

mg

3qL

x0
解得：x₀=3L                              
記x₀=3L位置處為O₁點，小球繼續(xù)下落△x位移時，其所受合力為F
F=mg-qE=mg-q

mg

3qL

(3L+△x)=-

mg

3L

△x
由此可以判斷：B球在回復(fù)力作用下做簡諧運動．
簡諧運動以O(shè)₁為平衡位置，振幅為L．
則B球的運動范圍是：2L≤x≤4L
答：（1）A球的帶電量為4q；
（2）畫出A球所受電場力F與x的圖象如圖；剪斷細線后，A球向上運動，A球運動的最大速度vm=

gL 12

；
（3）剪斷細線后，B球的運動范圍是：2L≤x≤4L．

點評：該題中，兩個小球受到的力是變力，要根據(jù)它們受力變化的規(guī)律，正確分析得出它們運動的規(guī)律，然后才能做出正確的結(jié)論．題目的難度比較大．