Question

8．如圖所示，有一固定的且內(nèi)壁光滑的半球面，球心為O，最低點(diǎn)為C，在其內(nèi)壁上有兩個(gè)質(zhì)量相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）A和B，在兩個(gè)高度不同的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A球的軌跡平面高于B球的軌跡平面，A、B兩球與O點(diǎn)的連線(xiàn)與豎直線(xiàn)OC間的夾角分別為α=53°和β=37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8，sin53°=0.8，cos53°=0.6），以最低點(diǎn)C所在的水平面為重力勢(shì)能的參考平面，則（　�。�

• A． A、B兩球所受彈力的大小之比為4：3
• B． A、B兩球運(yùn)動(dòng)的周期之比為1：1
• C． A、B兩球的動(dòng)能之比為64：27
• D． A、B兩球的重力勢(shì)能之比為16：9

Answer 1

分析 小球受重力和支持力，靠?jī)蓚�(gè)力的合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則求出支持力之比，根據(jù)牛頓第二定律求出周期、線(xiàn)速度之比．從而得出動(dòng)能之比．根據(jù)高度求出重力勢(shì)能，從而得出重力勢(shì)能之比．

解答 解：A、小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則得：
   軌道的彈力 N=$\frac{mg}{cosθ}$，θ是小球所在處的軌道半徑與豎直方向的夾角，則A、B兩球所受彈力的大小之比為 $\frac{{N}_{A}}{{N}_{B}}$=$\frac{cos37°}{cos53°}$=$\frac{4}{3}$．故A正確．
BC、設(shè)半球面的半徑為R，小球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，根據(jù)牛頓第二定律得 mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，r=Rsinθ，解得
  小球的動(dòng)能 E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mgRtanθsinθ，則A、B兩球的動(dòng)能之比 $\frac{{E}_{kA}}{{E}_{kB}}$=$\frac{tan53°sin53°}{tan37°sin37°}$=$\frac{64}{27}$．
由上解得，周期 T=2π$\sqrt{\frac{Rcosθ}{g}}$，則A、B兩球運(yùn)動(dòng)的周期之比為  $\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\sqrt{\frac{cos53°}{cos37°}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．故B錯(cuò)誤，C正確．
D、小球的重力勢(shì)能E_p=mgR（1-cosθ），則A、B兩球的重力勢(shì)能之比為 $\frac{{E}_{pA}}{{E}_{pB}}$=$\frac{1-cos53°}{1-cos37°}$=2．故D錯(cuò)誤．
故選：AC

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清向心力的來(lái)源：合外力，運(yùn)用牛頓第二定律得出線(xiàn)速度、周期的關(guān)系式．