Question

如圖所示，軌道ABCD由粗糙的斜面軌道AB和光滑圓弧軌道BCD組成．圓弧軌道BCD半徑R=lm，在B點(diǎn)與斜面軌道48相切；C點(diǎn)是圓弧軌道的最低點(diǎn)，D點(diǎn)的切線沿豎直方向；斜面軌道與水平面的夾角8=37°，物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3在D點(diǎn)的正上方有一厚度不計(jì)的旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，沿平臺(tái)的一條直徑上開(kāi)有兩個(gè)小孔P、Q，兩孔離軸心等距離，旋轉(zhuǎn)時(shí)兩孔均能達(dá)到D點(diǎn)的正上方．一質(zhì)量m=0.5kg的物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）從斜面上A點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力恥N_N=65N，到達(dá)D點(diǎn)后恰好無(wú)碰撞的穿過(guò)小孔P，為了使物塊能從小孔Q落下（不計(jì)空氣阻力，重力加速度g=10m/s²，取sin37°=0.6，cos37°=o．8），求：
（1）物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度（結(jié)果可用根式表示）．
（2）AB的長(zhǎng)度L（結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）．
（3）平臺(tái)的角速度ω應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）在C點(diǎn)，物塊靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出物塊到達(dá)C點(diǎn)的速度．
（2）對(duì)AC段運(yùn)用動(dòng)能定理，有重力和摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求出AB段的長(zhǎng)度．
（3）對(duì)C到D段運(yùn)用動(dòng)能定理，求出到達(dá)D點(diǎn)的速度，小球穿越孔后做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出上拋到返回平臺(tái)的時(shí)間，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，求出平臺(tái)的角速度ω應(yīng)滿足的條件．

解答：解：（1）在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓定律有FN-mg=m

υ2

R

υ=

( FN m -g)R

=

( 65 0.5 -10)×1

m/s=2

30

m/s．
（2）由動(dòng)能定理，有mgLsin37°+mgR（1-cos37°）-μmgLcos37°=

1

2

mυ2
解得L=

145

9

m
（3）設(shè)小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度是υ_D，則在物塊由C到D過(guò)程中，有

1

2

mυ2=mgR+

1

2

mυD2
解得υ_D=10m/s
物塊越過(guò)孔后做初速度為10m/s、加速度為-g的勻變速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式h=υ0t+

1

2

gt2有0=10×t+

1

2

×(-10)×t2
可得t=2s
根據(jù)θ=ωt得ω應(yīng)滿足ω=

θ

t

=

(2n+1)π

2

(n=0，1，2，3)
答：（1）物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為2

30

m/s．
（2）AB的長(zhǎng)度L為

145

9

m．
（3）平臺(tái)的角速度ω應(yīng)滿足的條件為ω=

(2n+1)π

2

(n=0，1，2，3)．

點(diǎn)評(píng)：小球經(jīng)歷了勻變速運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)，綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式．