Question

如圖所示，兩條間距為L的光滑平行導(dǎo)電導(dǎo)軌MN、PQ與水平面成θ角放置，上端跨接定值電阻R，一長也為L、電阻不計(jì)的金屬棒擱在導(dǎo)軌上，在導(dǎo)軌所在處有三個(gè)勻強(qiáng)磁場區(qū)和一個(gè)無磁場區(qū)，磁場邊界均平行于金屬棒，磁場寬均為L，磁場方向如圖且均垂直于導(dǎo)軌平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=2B₁，無磁場區(qū)寬也為L，金屬棒從導(dǎo)軌上方距最上方的磁場的上邊界L處靜止起下滑，進(jìn)入最上方磁場時(shí)恰好做勻速運(yùn)動，且每次到達(dá)一個(gè)磁場的下邊界前都已達(dá)到勻速運(yùn)動，圖中已畫出金屬棒穿過第一個(gè)磁場區(qū)過程中的電流（以a→b為正方向）隨下滑距離x變化的圖象，請畫出金屬棒穿過后兩個(gè)磁場區(qū)過程中的電流隨下滑距離x變化的圖象．

Answer 1

分析：在0到L段勻速運(yùn)動，金屬棒受力平衡，可以得到電流表達(dá)式．
L到2L段，由于磁場強(qiáng)度增大一倍，金屬棒受的安培力大于重力向下的分力，故金屬棒做勻減速直線運(yùn)動．由公式可知其大小為0到L段的兩倍．
由電磁感應(yīng)可以求的L到2L的平均感應(yīng)電動勢，由電功表達(dá)式可以求得這段位移的電功，再由能量守恒可以求得這段位移的電流與位移成反比．
又在L到2L的下邊界又變成勻速運(yùn)動，可知在下邊界的電流與0到L段的電流相等．所以可以做出L到2L的I-L圖象．
2L到3L這段沒有磁場，故沒有電流
3L到4這段同理可以得到圖象．

解答：解：
（1）在0到L段勻速運(yùn)動，金屬棒受力平衡：B₁I₁L=G₁
可以得到電流表達(dá)式：I1=

G1

B1L

=2A
L到2L段，感應(yīng)電流為：I2=

B2Lv

R

安培力為：F2=

B22L2v

R

=4G1
又由：B₂I₂v=4G₁
得：I2=

4G1

B2L

=2I1=4A
由右手定則知電流方向與I₁方向相反，
在這段位移X₂內(nèi)產(chǎn)生的平均動生電動勢為：
U2=

B2△S

t

=

B2X2L

t

產(chǎn)生的電熱為：
Q=U₂I₂t
=B₂△XI₂L
又由能量守恒知，這段位移內(nèi)能量轉(zhuǎn)化為：重力勢能轉(zhuǎn)化為電熱．
mgh=B₂△XI₂L
整理得到：
I2=

mgh

B2△XL

可知這段位移內(nèi)電流與位移成反比，初始電流為4A，方向與I₁方向相反．
又題目告知：到達(dá)下邊界金屬棒達(dá)到勻速，說明在下邊界安培力等于G₁，則在下邊界的電流為2A．
故這段時(shí)間內(nèi)的圖象如圖．

（2）2L到3L這段無磁場，故電流為零．

（3）與0到L段同理，可知3L到4L這段位移內(nèi)的電流和位移的關(guān)系也是反比，末電流也是2A，方向與I₁方向相同．
其初始速度應(yīng)為它經(jīng)2L到3L這段無磁場區(qū)加速后的速度：
v=v₀+gsinθ?t
由于平均速度比v₀大，而初始區(qū)域的平均速度為：

v0

2

，故其時(shí)間應(yīng)該小于在初始區(qū)域的運(yùn)動時(shí)間的一半，兩者加速度相等，都是gsinθ，故其速度的增加應(yīng)小初速度的

1

2

．即其初速度應(yīng)小于2.5v₀．
又由I=

BLv

R

，可知感應(yīng)電流與速度成正比，所以在這段位移的初始電流應(yīng)小于2.5A．故圖象的起始點(diǎn)應(yīng)在電流為2.5A稍下方．
則這段圖象如圖．

綜上可以得到最終的I--X圖象如圖：

點(diǎn)評：本題難度較大，綜合性較強(qiáng)，在熟練掌握相關(guān)知識后可以用這種題來提高綜合應(yīng)用能力，鍛煉思維．