Question

【題目】 “大自然每個(gè)領(lǐng)域都是美妙絕倫的。”隨著現(xiàn)代科技發(fā)展，人類(lèi)不斷實(shí)現(xiàn)著“上天入地”的夢(mèng)想，但是“上天容易入地難”，人類(lèi)對(duì)腳下的地球還有許多未解之謎。地球可看作是半徑為R的球體。

（1）以下在計(jì)算萬(wàn)有引力時(shí)，地球可看作是質(zhì)量集中在地心的質(zhì)點(diǎn)。

a．已知地球兩極的重力加速度為g1，赤道的重力加速度為g2，求地球自轉(zhuǎn)的角速度ω；

b．某次地震后，一位物理學(xué)家通過(guò)數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)地球的半徑和質(zhì)量以及兩極的重力加速度g1都沒(méi)變，但赤道的重力加速度由g2略微減小為g3，于是他建議應(yīng)該略微調(diào)整地球同步衛(wèi)星的軌道半徑。請(qǐng)你求出同步衛(wèi)星調(diào)整后的軌道半徑與原來(lái)的軌道半徑r之比。

（2）圖1是地球內(nèi)部地震波隨深度的分布以及由此推斷出的地球內(nèi)部的結(jié)構(gòu)圖。在古登堡面附近，橫波（S）消失且縱波（P）的速度與地表處的差不多，于是有人認(rèn)為在古登堡面附近存在著很薄的氣態(tài)圈層，為了探究氣態(tài)圈層的壓強(qiáng)，兩位同學(xué)提出了以下方案。

甲同學(xué)的方案：如圖2所示，由于地球的半徑非常大，設(shè)想在氣態(tài)圈層的外側(cè)取一底面積很小的柱體，該柱體與氣態(tài)圈層的外表面垂直。根據(jù)資料可知古登堡面的半徑為R1，氣態(tài)圈層之外地幔及地殼的平均密度為，平均重力加速度為g，地球表面的大氣壓強(qiáng)相對(duì)于該氣態(tài)圈層的壓強(qiáng)可忽略不計(jì)。

乙同學(xué)的方案：設(shè)想在該氣態(tài)圈層內(nèi)放置一個(gè)正方體，并且假定每個(gè)氣體分子的質(zhì)量為m，單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n，分子大小可以忽略，其速率均相等，且與正方體各面碰撞的機(jī)會(huì)均等，與各面碰撞前后瞬間，分子的速度方向都與各面垂直，且速率不變。根據(jù)古登堡面附近的溫度可推知?dú)怏w分子運(yùn)動(dòng)的平均速率為v．

請(qǐng)你選擇其中的一種方案求出氣態(tài)圈層的壓強(qiáng)p．

Answer 1

【答案】（1）a．；b．；

（2）甲同學(xué)：；乙同學(xué)：。

【解析】試題分析：（1）a．設(shè)地球的質(zhì)量為M，對(duì)于質(zhì)量為m的物體，在兩極有：①

在赤道，根據(jù)牛頓第二定律有：②

聯(lián)立①②可得：（6分）

b．設(shè)地震后地球自轉(zhuǎn)的角速度為，根據(jù)牛頓第二定律有：③

設(shè)同步衛(wèi)星的質(zhì)量為，根據(jù)牛頓第二定律，

地震前有：④ 地震后有：⑤

聯(lián)立①②③④⑤可得：（7分）

（2）甲同學(xué)的方案：

設(shè)該柱體的底面積為S，則柱體的總重力為：⑥

該柱體靜止，支持力與重力的合力為零。即：⑦

由牛頓第三定律可知，柱體對(duì)氣態(tài)圈層的壓力⑧

氣態(tài)圈層中的氣體壓強(qiáng)為⑨

聯(lián)立⑥⑦⑧⑨式可得：（7分）

乙同學(xué)的方案：

設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a，時(shí)間內(nèi)與一個(gè)面發(fā)生碰撞的氣體分子數(shù)為N，則：

⑩

設(shè)該面與氣體分子間的壓力大小為F，由動(dòng)量定理得：

則氣體的壓強(qiáng)為：

聯(lián)立⑩ 式可得：（7分）

說(shuō)明：用其他方法解答正確，給相應(yīng)分?jǐn)?shù)。