Question

7．如圖所示，一半徑為R，位于豎直面內的絕緣光滑軌道上靜止著兩個相同的帶電小球A和B（可視為質點），兩球質量均為m，距離為R，用外力慢慢推左球A使其到達圓周最低點C．求此過程中外力所做的功．

Answer 1

分析 初態(tài)時，兩球靜止，由庫侖定律和平衡條件求出kq²．外力緩慢推左球A使其到達圓周最低點C，如圖所示，畫出B球的受力圖，由三角形相似法和庫侖定律求出兩球間的距離．再得到系統(tǒng)的電勢能和重力勢能的增加量，由功能關系求解外力做功．

解答 解：設小球帶電量為q，由庫侖定律知，兩個相同的帶電小球A和B之間的庫侖力為：F=k$\frac{{q}^{2}}{{R}^{2}}$…①
由平衡條件得 tan30°=$\frac{F}{mg}$…②
聯立解得 kq²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mgR²…③
外力緩慢推左球A使其到達圓周最低點C，如圖所示，畫出B球的受力圖，設AB之間距離為L，由圖中幾何關系，利用相似三角形知識可得：
   $\frac{F′}{L}$=$\frac{mg}{R}$…④
又 F′=k$\frac{{q}^{2}}{{L}^{2}}$…⑤
聯立③④⑤解得：L³=$\frac{\sqrt{3}}{3}{R}^{3}$，即L=$\frac{1}{\root{6}{3}}$R…⑥
外力緩慢推左球A前，系統(tǒng)的電勢能 E_P=k$\frac{{q}^{2}}{R}$
外力緩慢推左球A使其到達圓周最低點C，系統(tǒng)的電勢能 E_P′=k$\frac{{q}^{2}}{L}$
系統(tǒng)電勢能增加△E_電=E_P′-E_P=k$\frac{{q}^{2}}{L}$-k$\frac{{q}^{2}}{R}$=kq²（$\frac{\root{6}{3}-1}{R}$）…⑦
設OB與豎直方向的夾角為θ，由余弦定理得：
   L²=2R²-2R²cosθ
解得 cosθ=$\frac{2{R}^{2}-{L}^{2}}{2{R}^{2}}$=$\frac{2-\frac{1}{\root{3}{3}}}{2}$=$\frac{2\root{3}{3}-1}{2\root{3}{3}}$
重力勢能增加△E_P=mg（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2\root{3}{3}-1}{2\root{3}{3}}$）R…⑧
由功能關系可得，此過程中外力所做的功為
  W=△E_P′+△E_P=kq²（$\frac{\root{6}{3}-1}{R}$）+mg（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2\root{3}{3}-1}{2\root{3}{3}}$）R 
答：此過程中外力所做的功為kq²（$\frac{\root{6}{3}-1}{R}$）+mg（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2\root{3}{3}-1}{2\root{3}{3}}$）R．

點評 解決本題的關鍵要正確分析能量是如何轉化的，由幾何知識分析兩球間的距離．要知道電勢能表達式E_p=k$\frac{{q}^{2}}{{r}^{2}}$．