Question

2．如圖所示，在粗糙水平面上A點(diǎn)固定一半徑R=0.2m的豎直光滑圓弧軌道，底端有一小孔，在水平面上距A點(diǎn)s=1m的B點(diǎn)正上方O處，用長為L=0.9m的輕繩懸掛一質(zhì)量M=0.1kg的小球甲，現(xiàn)將小球甲拉至圖中C位置，繩與豎直方向夾角θ=60°，靜止釋放小球甲，擺到最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)與另一質(zhì)量m=0.05kg的靜止小滑塊乙（可視為質(zhì)點(diǎn)）發(fā)生完全彈性碰撞，碰后小滑塊乙在水平面上運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，并無碰撞地經(jīng)過小孔進(jìn)入圓弧軌道，當(dāng)小滑塊乙進(jìn)入圓軌道后立即關(guān)閉小孔，g=10m/s²
（1）求甲、乙碰前瞬間小球甲的速度大小
（2）若小滑塊乙進(jìn)入圓軌道后的運(yùn)動(dòng)過程中恰好不脫離圓弧軌道，求小滑塊乙與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ

Answer 1

分析 （1）甲球在下擺過程中，繩子拉力不做功，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求甲、乙碰前瞬間小球甲的速度大�。�
（2）甲乙發(fā)生完全彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能守恒列式，求得碰后瞬間滑塊的速度．小滑塊乙進(jìn)入圓軌道后的運(yùn)動(dòng)過程中恰好不脫離圓弧軌道，有兩種情況：第一種：恰好通過圓軌道的最高點(diǎn)，做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．第二種情況：乙剛好通過與圓心等高的位置，求出能夠經(jīng)過最高點(diǎn)和恰好到達(dá)圓心右側(cè)等高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的臨界條件．然后結(jié)合動(dòng)能定理方程即可求出動(dòng)摩擦因數(shù)μ．

解答 解：（1）甲球在下擺過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
    MgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$
可得 v₀=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{0.9×10}$=3m/s
（2）設(shè)甲乙碰撞后速度分別為v₁和v₂．取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
   Mv₀=Mv₁+mv₂．
根據(jù)動(dòng)能守恒得：
 $\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²．
聯(lián)立解得 v₂=4m/s
小滑塊乙進(jìn)入圓軌道后的運(yùn)動(dòng)過程中恰好不脫離圓弧軌道，有兩種情況：
第一種情況：乙剛好通過與圓心等高的位置，從B到圓心等高的位置，由動(dòng)能定理有
-μmgs-mgR=0-$\frac{1}{2}$mv₂²．
解得 μ=0.6    
第二種情況：乙恰好通過圓軌道的最高點(diǎn)，則有
   mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
從B點(diǎn)到圓周最高點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理得；   
-μ′mgs-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv₂²．
解得 μ′=0.3
所以乙恰好不脫離圓弧軌道，小滑塊乙與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是0.6或0.3．
答：
（1）甲、乙碰前瞬間小球甲的速度大小是3m/s．
（2）若小滑塊乙進(jìn)入圓軌道后的運(yùn)動(dòng)過程中恰好不脫離圓弧軌道，小滑塊乙與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是0.6或0.3．

點(diǎn)評(píng) 本題中涉及的過程比較多，屬于多物體多過程的情況，關(guān)鍵是明確小滑塊的運(yùn)動(dòng)情況，抓住彈性碰撞的基本規(guī)律：動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能守恒．明確圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件：重力等于向心力．