Question

如圖所示，豎直平面內(nèi)有范圍足夠大、水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在虛線左側(cè)有垂直紙面向里水平的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度大小為B．一粗細(xì)均勻的絕緣軌道由兩段水平且足夠長(zhǎng)的直桿PQ、MN和一半徑為R的半圓環(huán)MAP組成，固定在豎直平面內(nèi)，半圓環(huán)與兩直桿的切點(diǎn)P、M恰好在磁場(chǎng)邊界線上，軌道的NMAP段光滑，PQ段粗糙，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的絕緣塑料小環(huán)套在桿MN上（環(huán)的內(nèi)直徑比桿的直徑稍大），將小環(huán)從M點(diǎn)右側(cè)距離x₀=4R的D點(diǎn)由靜止釋放，小環(huán)剛好能到達(dá)P點(diǎn)．試求：
（1）小環(huán)所受電場(chǎng)力的大小．
（2）上述過(guò)程中小環(huán)第一次通過(guò)與O點(diǎn)等高的A點(diǎn)時(shí)半圓環(huán)對(duì)小環(huán)作用力的大�。�
（3）若小環(huán)與PQ間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ （設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等），現(xiàn)將小環(huán)移至M點(diǎn)右側(cè)6R處由靜止釋放，求小環(huán)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

（1）小環(huán)剛好能到達(dá)P點(diǎn)，意味著小環(huán)到達(dá)P點(diǎn)時(shí)速度恰好為零．根據(jù)動(dòng)能定理得：F-x₀=mg?2R=0
解得小環(huán)所受電場(chǎng)力F=0.5mg
（2）設(shè)小環(huán)第一次運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度為v_A，根據(jù)動(dòng)能定理得：
F（x₀+R）-mgR=

1

2

mv_A²
在A點(diǎn)小環(huán)受到的洛侖茲力f=qBv_A
根據(jù)牛頓第二定律得：F_N-f-F=

m v 2A

R

解得：FN=3.5mg+qB

3gR

（3）若小環(huán)受到的滑動(dòng)摩擦力f₀=μmg＜F，即μ＜0.5，分析可知小環(huán)經(jīng)過(guò)多次往返最終到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度為零．根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律，得：
F?6R=mg?2R+Q
解得：Q=mgR
若小環(huán)受到的滑動(dòng)摩擦力f₀=μmg≥F，即μ≥0.5，則小環(huán)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)后向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，一直到靜止．
設(shè)小環(huán)從P點(diǎn)開(kāi)始向右做勻減速運(yùn)動(dòng)的最大距離為s_m，
對(duì)整個(gè)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理得：F（6R-s_m）-mg?2R-μmg?s_m=0
小環(huán)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的熱量為Q=μmgs_m
聯(lián)立解得：Q=

2μmgR

1+2μ

答：（1）小環(huán)所受電場(chǎng)力的大小0.5mg．
（2）上述過(guò)程中小環(huán)第一次通過(guò)與O點(diǎn)等高的A點(diǎn)時(shí)半圓環(huán)對(duì)小環(huán)作用力的大�。�FN=3.5mg+qB

3gR

．
（3）若小環(huán)與PQ間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ （設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等），現(xiàn)將小環(huán)移至M點(diǎn)右側(cè)6R處由靜止釋放，則小環(huán)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的熱量：Q=

2μmgR

1+2μ

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