Question

11．如圖所示，A、B兩物體用輕繩連接，并穿在水平桿上，可沿桿滑動．水平桿固定在可繞豎直軸PQ轉動的框架上，已知A、B的質量分別為m₁和m₂，且m₁＜m₂：水平桿對物體A、B的最大靜摩擦力均與各物體的重力成正比，比例系數(shù)均為μ，物體A離轉軸PQ的距離為R₁，物體B到轉軸PQ的距離為R₂，且R₁＜R₂
（1）當框架轉動的角速度緩慢增大到某一值ω₁時，連接兩物體的輕繩開始有拉力，求此時的角速度ω₁
（2）當角速度增大到某一值ω₂時，其中一個物體受到桿的摩擦力為零，求此時的角速度ω₂及此時輕繩中的拉力大�。�3）角速度ω₃為多大時兩物體相對于水平桿開始滑動？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)最大靜摩擦力提供向心力，判斷出B先達到最大靜摩擦力，對B分析，根據(jù)牛頓第二定律得出連接兩物體的輕繩出現(xiàn)拉力時的角速度．
（2）分別隔離對A、B分析，抓住A所受的摩擦力為零，結合牛頓第二定律列出表達式，聯(lián)立求出繩子的拉力和角速度的大小．
（3）當兩物體的摩擦力均達到最大靜摩擦力時，兩物體相對水平直桿開始滑動，結合牛頓第二定律列出表達式，聯(lián)立求出角速度的大�。�

解答 解：（1）A、B轉動的角速度相等，根據(jù)μmg=mrω²得，$ω=\sqrt{\frac{μg}{r}}$，因為R₁＜R₂，
可知B先達到最大靜摩擦力，
根據(jù)$μ{m}_{2}g={m}_{2}{R}_{2}{{ω}_{1}}^{2}$得，${ω}_{1}=\sqrt{\frac{μg}{{R}_{2}}}$．
（2）B先到達最大靜摩擦力，此后A受到繩子的拉力，當A受到的摩擦力等于0時，設拉力為T，則對A：T=${m}_{1}{R}_{1}{{ω}_{2}}^{2}$，
對B：$T+μ{m}_{2}g={m}_{2}{R}_{2}{{ω}_{2}}^{2}$，
聯(lián)立得：ω₂=$\sqrt{\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}}$，T=$\frac{μ{m}_{1}{m}_{2}g{R}_{1}}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}$．
（3）當兩物體相對于水平桿開始滑動時，對A有：T-μm₁g=${m}_{1}{R}_{1}{{ω}_{3}}^{2}$，
對B有：$T+μ{m}_{2}g={m}_{2}{R}_{2}{{ω}_{3}}^{2}$，
聯(lián)立解得ω₃=$\sqrt{\frac{μ（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{{m}_{1}{R}_{1}+{m}_{2}{R}_{2}}}$．
答：（1）當框架轉動的角速度緩慢增大到某一值ω₁時，連接兩物體的輕繩開始有拉力，此時的角速度為$\sqrt{\frac{μg}{{R}_{2}}}$；
（2）當角速度增大到某一值ω₂時，其中一個物體受到桿的摩擦力為零，此時的角速度為$\sqrt{\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}}$，輕繩中的張力為$\frac{μ{m}_{1}{m}_{2}g{R}_{1}}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}$．
（3）角速度ω₃為$\sqrt{\frac{μ（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{{m}_{1}{R}_{1}+{m}_{2}{R}_{2}}}$時兩物體相對于水平桿開始滑動．

點評 解決本題的關鍵找出A、B將要發(fā)生相對滑動時的臨界情況，通過受力，結合牛頓第二定律進行分析．