Question

如圖所示，兩根間距為L的金屬導(dǎo)軌MN和PQ，電阻不計，左端彎曲部分光滑，水平部分導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒間的滑動摩擦因數(shù)為μ，水平導(dǎo)軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場Ⅰ，右端有另一磁場Ⅱ，其寬度也為d，但方向豎直向下，兩磁場的磁感強(qiáng)度大小均為B₀，相隔的距離也為d．有兩根質(zhì)量為m、電阻均為R的金屬棒a和b與導(dǎo)軌垂直放置，b棒置于磁場Ⅱ中點(diǎn)C、D處．現(xiàn)將a棒從彎曲導(dǎo)軌上某一高處由靜止釋放并沿導(dǎo)軌運(yùn)動下去．
（1）當(dāng)a棒在磁場Ⅰ中運(yùn)動時，若要使b棒在導(dǎo)軌上保持靜止，則a棒剛釋放時的高度應(yīng)小于某一值h₀，求h₀的大小；
（2）若將a棒從彎曲導(dǎo)軌上高度為h（h＜h₀）處由靜止釋放，a棒恰好能運(yùn)動到磁場Ⅱ的左邊界處停止，求a棒克服安培力所做的功；
（3）若將a棒仍從彎曲導(dǎo)軌上高度為h（h＜h₀）處由靜止釋放，為使a棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應(yīng)電流，可讓磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間而變化，將a棒剛進(jìn)入磁場Ⅰ的時刻記為t=0，此時磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，試求出在a棒通過磁場Ⅰ的這段時間里，磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間變化的關(guān)系式．

Answer 1

（1）因?yàn)閍棒進(jìn)入磁場Ⅰ后做減速運(yùn)動，所以只要剛進(jìn)入時b棒不動，b就可以靜止不動．對a棒：由機(jī)械能守恒：mgh₀=

1

2

m₀²，
對回路：ε=BLv₀，I=

ε

2R

對b棒：BIL=μmg
聯(lián)立解得：h₀=

2μ2m2gR2

B4L4

（2）由全過程能量守恒與轉(zhuǎn)化規(guī)律：mgh=μmg2d+W_克A
解得：W_克A=mgh-μmg2d
（3）a棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應(yīng)電流，說明感應(yīng)電動勢為零，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律ε=

△Φ

△t

，在△t≠0的前提下，△Φ=0即Φ保持不變
對a棒：由機(jī)械能守恒：mgh=

1

2

mv²
a棒進(jìn)入磁場Ⅰ后，由牛頓第二定律得：a=μg
經(jīng)過時間t，a棒進(jìn)入磁場Ⅰ的距離為x=vt-

1

2

at²
磁通量Φ=B₀（d-x）L-B

d

2

L
又最初磁通量為Φ₀=B₀dL-B₀

d

2

L=

1

2

B₀dL=Φ
聯(lián)立解得：B=B₀-

2B0

d

(

2ght

-

1

2

μgt2)．
答：（1）h₀的大小為

2μ2m2gR2

B4L4

．
（2）a棒克服安培力所做的功為mgh-μmg2d．
（3）磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間變化的關(guān)系式B=B₀-

2B0

d

(

2ght

-

1

2

μgt2)．