Question

（2008?深圳二模）如圖所示，直線MN下方無(wú)磁場(chǎng)，上方空間存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其分界線是半徑為R的半圓，兩側(cè)的磁場(chǎng)方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶負(fù)電微粒從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，最終打到Q點(diǎn)，不計(jì)微粒的重力．求：
（1）微粒在磁場(chǎng)中從P點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)90°所用的時(shí)間．
（2）從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，微粒的運(yùn)動(dòng)速度大小及運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）若向里磁場(chǎng)是有界的，分布在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R和2R的兩半圓之間的區(qū)域，上述微粒仍從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，且微粒仍能到達(dá)Q點(diǎn)，求其速度的最大值．

Answer 1

分析：帶電粒子在磁場(chǎng)中只受洛倫茲力，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由牛頓第二定律與數(shù)學(xué)知識(shí)分析答題．

解答：解：（1）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m

v 2 0

r

，
T=

2πr

v0

，解得T=

2πm

qB

，
微粒在磁場(chǎng)中從P點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)90°所用的時(shí)間：
t=

90°

360°

T=

πm

2qB

；
（2）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡將磁場(chǎng)邊界分成n等份（n=2，3，4，．．）
設(shè)每等份圓弧所對(duì)圓心角為2θ，
由幾何知識(shí)可得θ=

π

2n

，tanθ=

r

R

，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m

v 2 0

r

，
解得：v₀=

qBR

m

tan

π

2n

（n=2、3、4、…），
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由對(duì)稱性可得t=

nT

2

=

nπm

qB

（n=2、4、6、8…）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)．t為周期的整數(shù)倍加上第一段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，
即t=

n-1

2

T+

π+ π n

2π

T=

(n2+1)πm

nqB

（n=3、5、7…），

（3）設(shè)x為O到粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心的距離，
由幾何知識(shí)得：r=Rtan

π

2n

，x=

R

cos π 2n

，
要不超出邊界須有：

R

cos π 2n

+Rtan

π

2n

＜2R，
解得：2cos

π

2n

＞1+sin

π

2n

，
當(dāng)n=2時(shí)不成立，如圖（b）所示
 
比較當(dāng)n=3、n=4時(shí)的運(yùn)動(dòng)半徑，可知：當(dāng)n=3時(shí)，運(yùn)動(dòng)半徑最大，粒子的速度最大．即有
r=Rtan

π

2n

=

3

3

R=

mv0

qB

，可得：v₀=

3 qBR

3m

；

答：（1）微粒在磁場(chǎng)中從P點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)90°所用的時(shí)間為

πm

2qB

；
（2）從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，微粒的運(yùn)動(dòng)速度大小為v₀=

qBR

m

tan

π

2n

（n=2、3、4、…），
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，t=

nT

2

=

nπm

qB

（n=2、4、6、8…）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即t=

n-1

2

T+

π+ π n

2π

T=

(n2+1)πm

nqB

（n=3、5、7…）．
（3）其速度的最大值為

3 qBR

3m

．

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)動(dòng)軌跡的特殊性研究到一般性探究，這是分析問(wèn)題的一種方法．同時(shí)要利用圓的特性與物理規(guī)律相結(jié)合．本題是一道難題，根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題解題的難點(diǎn)，也是正確解題的關(guān)鍵．