Question

如圖所示,遙控電動賽車(可視為質點)從A點由靜止出發(fā),經過時間t后關閉電動機,賽車繼續(xù)前進至B點后進入固定在豎直平面內的圓形光滑軌道,通過軌道最高點P后又進入水平軌道CD上。已知賽車在水平軌道AB部分和CD部分運動時受到的阻力恒為車重的0.5倍,即k==0.5,賽車的質量m=0.4 kg,通電后賽車的電動機以額定功率P=2 W工作,軌道AB的長度L=2 m,圓形軌道的半徑R=0.5 m,空氣阻力可以忽略,取重力加速度g=10 m/s²。某次比賽,要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道,又要在CD軌道上運動的路程最短。在此條件下,求:

 (1)賽車在CD軌道上運動的最短路程；

(2)賽車電動機工作的時間。

Answer 1

【解析】(1)要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道,又在CD軌道上運動的路程最短,則賽車經過圓軌道P點時速度最小,此時賽車對軌道的壓力為零,重力提供向心力:

mg=                                                                       (3分)

賽車在C點的速度為v_C,由機械能守恒定律可得:

mg·2R+                                                     (3分)

由上述兩式聯(lián)立，代入數(shù)據(jù)可得：v_C=5 m/s                              (1分)

設賽車在CD軌道上運動的最短路程為x,由動能定理可得：

                                                             (3分)

代入數(shù)據(jù)可得：x=2.5 m                                                   (1分)

(2)由于豎直圓軌道光滑，由機械能守恒定律可知：

v_B=v_C=5 m/s

從A點到B點的運動過程中，由能量守恒定律可得：

Pt=kmgL+                                                             (3分)

代入數(shù)據(jù)可得：t=4.5 s                                                   (2分)

答案：(1)2.5 m      (2)4.5 s

【總結提升】與功能關系相結合的圓周運動問題的分析方法

(1)確定研究對象，對研究對象進行受力分析和做功情況分析，對于多個過程的情形，要分析出在每一個過程中的受力和做功情況。

(2)注意不同過程的銜接,前一個過程的末狀態(tài),就是后一個過程的初狀態(tài)。

(3)分析每一個過程中的能量轉化情況,機械能是否守恒,列出每一個過程的對應方程。

(4)確定臨界狀態(tài)及特點,并列出相應的方程。

(5)求解方程并進行驗證。