Question

如圖所示，在水平桌面上放有長木板C，C上右端是固定擋板P，在C上左端和中點(diǎn)處各放有小物塊A和B，A、B的尺寸以及D的厚度皆可略不計(jì)，A、B之間和B、P之間的距離皆為L，設(shè)木板C與桌面之間無摩擦，A、C之間和B、C之間的靜摩擦因數(shù)、動摩擦因數(shù)均為μ，A、B、C（連同檔板P）的質(zhì)量相同，開始時(shí)，B和C靜止，A以某一初速度向右運(yùn)動，試問下列情況是否能發(fā)生？要求定量求出能發(fā)生這些情況時(shí)物塊A的初速度v₀應(yīng)滿足的條件，或定量說明不能發(fā)生的理由。

（1）物塊A與B發(fā)生碰撞。

（2）物塊A與B發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與檔板P發(fā)生碰撞。

（3）物塊B與檔板P發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與A在木板C上再發(fā)生碰撞。

（4）物塊A從木板C上掉下來。

（5）物塊B從木板C上掉下來。

Answer 1

（1）A與B發(fā)生碰撞的條件是：

(2) A與B相撞，B再與P相撞的條件是：

(3) 物塊A的初速度 時(shí), 物塊B、A在木板C上不可能再發(fā)生碰撞

(4) A從C掉下的條件是：

(5) 物塊B從木板C上掉下的條件是：

解析:

用m表示A、B和C的質(zhì)量。

（1）當(dāng)物塊A以初速度v₀向右運(yùn)動時(shí)，它因受C給它的滑動摩擦力做勻減速直線運(yùn)動，而它作用于C的摩擦力不足以使B、C產(chǎn)生相對滑動，即B、C以相同加速度做勻加速直線運(yùn)動。物塊A、B發(fā)生碰撞的臨界情況是：物塊A運(yùn)動到物塊B所在處時(shí)，A、B速度相等。

在臨界狀況下，因?yàn)锽與木板C的速度始終相等，所以A、B即將碰撞時(shí)，A、B、C三者速度均相同，設(shè)為v₁。由動量守恒定律有

  mv₀=3mv₁    ①

在此過程中，設(shè)木板C 運(yùn)動的路程為s₁，則物塊A運(yùn)動的路程為s₁+L，由功能原理得：

               ②

解①、②得：    

故A與B發(fā)生碰撞的條件是： 

（2）當(dāng)物塊A的初速度時(shí)，A、B將發(fā)生碰撞，物塊B與檔板P發(fā)生碰撞的臨界情況是：物塊B運(yùn)動到檔板P所在處時(shí)，B、C的速度相等。同（1）中結(jié)論，在臨界狀況下，當(dāng)B運(yùn)動到檔板P處時(shí)，A、B、C三者速度相等，設(shè)此速度為v₂，根據(jù)動量守恒定律得：

mv₀＝3mv₂        ③

   設(shè)A、B碰撞前瞬間，A、B、C速度分別為v_A、v_B和v_C，則v_A>v_B，v_B=v_C 。

   在A、B碰撞的極短時(shí)間內(nèi)，A、B構(gòu)成的系統(tǒng)的動量近似守恒，而木板C的速度保持不變，因?yàn)锳、B間的碰撞是彈性的，即系統(tǒng)機(jī)械能守恒，又物塊A、B質(zhì)量相等，故易得：碰撞后A、B速度交換，設(shè)碰撞剛結(jié)束時(shí)A、B、C三者的速度分別為v_Aˊ、v_Bˊ、v_Cˊ，則v_Aˊ＝v_B，v_Bˊ＝v_A，v_Cˊ＝v_C，剛碰撞后A、B、C的運(yùn)動與（1）類似，只是A、B的運(yùn)動進(jìn)行了交換，由此易分析：在整個(gè)運(yùn)動過程中，先是A相對C運(yùn)動的路程為L，接著是B相對C運(yùn)動的路程為L，整個(gè)系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)能。類似（1）中方程得

       ④     

聯(lián)立③、④解之，得：

故A與B相撞，B再與P相撞的條件是：

   （3）當(dāng)物塊A的初速度 時(shí)，B將與檔板P相撞，撞后A、B、C的運(yùn)動可由（2）中運(yùn)動類比得到：B、P碰撞后瞬間，物塊A、B速度相同，木板C速度最大，然后C以較大的加速度向右做減速運(yùn)動，而物塊A和B以相同的較小加速度向右做加速運(yùn)動，加速過程將持續(xù)到或者A、B與C速度相同，三者以相同速度向右做勻速運(yùn)動，或者木塊A從木板C上掉了下來，因此物塊B、A在木板C上不可能再發(fā)生碰撞。

(4)若A剛剛沒從木板C上掉下來，即A到達(dá)C的左端時(shí)的速度變?yōu)榕cC相同，這時(shí)三者的速度皆相同，以v₃表示，由動量守恒有

                      3mv₃=mv₀                       ⑤

從A以初速度v₀在木板C的左端開始運(yùn)動，經(jīng)過B與P相碰，直到A剛沒從木板C的左端掉下來，這一整個(gè)過程中，系統(tǒng)內(nèi)部先是A相對C運(yùn)動的路程為L，接著B相對C運(yùn)動的路程也是L，B與P碰后直到A剛沒從木板C上掉下來，A與B相對C運(yùn)動的路程也皆為L，整個(gè)系統(tǒng)動能的改變應(yīng)等于內(nèi)部相互滑動摩擦力做功的代數(shù)和。

即：(3m)v₃²-mv₀² =-μmg·4L  ⑥

由⑤⑥兩式得：

故A從C掉下的條件是：

（5）當(dāng)物塊A的初速度時(shí)，A將從木板C上掉下來。設(shè)A剛從木板C上掉下來時(shí)，A、B、C三者的速度分別為v_A″, v_B″, v_C″，有 v_A″＝ v _B″＜v_C″，這時(shí)⑤式應(yīng)改寫成

               mv₀=2m v_A″+mv_C″           ⑦

⑥式應(yīng)改寫成：   (2m)v_B″²+mv″_C²-mv₀=-μmg·4L     ⑧

當(dāng)物塊A掉下C后，物塊B從木板C掉下的臨界情況是：當(dāng)C在左端趕上B時(shí)，B與C的速度相等，設(shè)此速度為v₄

則由動量守恒定律可得：   mv_B″+ mv_C″＝2mv₄             ⑨

再對B、C系統(tǒng)從A掉下C到B掉下C的過程用動能定律：

(2m)v₄² —（mv″_B²+mv_C″²）= -μmgL     ⑩

聯(lián)立⑦⑧⑨⑩，注意到v_A″＝ v _B″＜v_C″，可解得：

，，

故物塊B從木板C上掉下的條件是：