Question

9．如圖所示，平面直角坐標系xOy中，平行板電容器位于y軸左側(cè)，其中線O₁O與x軸重合，y軸右側(cè)存在一與y軸相切的圓形磁場區(qū)域，圓心O₂在x軸上，PQ為與x軸垂直的直徑的兩個端點，磁場方向垂直紙面向外，已知電容器兩板長為L，兩板間距為d，下板接地，上板的電勢隨時間變化的關(guān)系如圖所示，磁場區(qū)域的半徑為$\frac{3}{4}$d．從t=0時刻開始，大量的電荷量為q、質(zhì)量為m的帶負電粒子從Q₁以速度v₀沿x軸方向持續(xù)射入電場，粒子在電場中的運動時間與電場的變化周期相等，發(fā)現(xiàn)t=0時刻射入的粒子恰由下板邊緣飛出，通過磁場后由P點離開，求：
（1）U₀的值；
（2）磁場的磁感應(yīng)強度B₀的值；
（3）將磁場的磁感應(yīng)強度變?yōu)?\frac{{B}_{0}}{2}$，請確定在磁場中運動時間最長的粒子進入磁場時位置的橫坐標．

Answer 1

分析 （1）由于粒子在電場中的運動時間與電場的變化周期相等，所以粒子y方向先做勻加速運動，后做勻減速運動，加速度大小相同，所用時間相同，粒子離開電場時粒子恰好從下邊水平緣射出進入磁場，由牛頓第二定律和運動學(xué)公式就能求出加速電壓．
（2）畫出粒子在磁場中運動的軌跡，由幾何關(guān)系求出粒子做勻速圓周運動的半徑，由洛侖茲力提供向心力，求得磁感應(yīng)強度B₀．
（3）磁感應(yīng)強度減半后，粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，要使粒子在磁場中的時間最長，則軌跡弧所對的弦長應(yīng)對應(yīng)圓形磁場的直徑．畫出軌跡，由幾何關(guān)系就能求出入射點的位置坐標．

解答 解：（1）設(shè)電場周期為T，粒子在電場中的運動時間與電場的變化周期相等，由題意可知：
t=0時刻射入電場的粒子在電場中沿x方向做勻速運動，所以y方向先做勻加速運動，后做勻
減速運動，加速度大小相同，所用時間相同，粒子離開電場時有：
v_y=a$\frac{T}{2}$-a $\frac{T}{2}$=0               
粒子恰好從下邊水平緣射出，則沿y方向的位移為：
$\fracrttpfld{2}$=$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{2}$）²+$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{2}$）²       
T=$\frac{L}{{v}_{0}}$                        
由牛頓第二定律得：qE=ma        
U₀=Ed           
解得：U₀=$\frac{2m{{v}_{0}}^{2}p75tbxx^{2}}{q{L}^{2}}$         
（2）粒子自A點水平進入進入磁場，r為粒子的軌道半徑，O₃為圓心，在磁場中運動的軌跡如圖，
由O₂P=O₂A=R，O₃P=O₃A=r，O₃A∥O₂P可知?O₃AO₂P為菱形．
所以有  r=R=$\frac{3}{4}d$                
在磁場中，洛倫茲力作為向心力，由牛頓第二定律得：
qv₀B₀=m$\frac{v02}{r}$               
所以：B₀=$\frac{4mv0}{3qd}$    
（3）當磁感應(yīng)強度變?yōu)?\frac{{B}_{0}}{2}$，同理可得粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑變?yōu)閞′=2r=$\frac{3}{2}d$，要使水
平進入的粒子運動時間最長，則必使粒子在圓形磁場區(qū)域軌跡弧長最長，弦長也最長--即為圓形
區(qū)域的直徑，軌跡如圖所示，
由幾何關(guān)系知道進入磁場的B點的位置坐標為：
 x_B=R-Rsin60°=$\frac{3（2-\sqrt{3}）}{8}d$
 y_B=-Rcos60°=$-\frac{3}{8}d$            
進入磁場的位置坐標為（$\frac{3（2-\sqrt{3}）}{8}d$，$-\frac{3}{8}d$）
答：（1）U₀的值為$\frac{2m{{v}_{0}}^{2}hhldtxd^{2}}{q{L}^{2}}$．
（2）磁場的磁感應(yīng)強度B₀的值是$\frac{4mv0}{3qd}$．
 （3）將磁場的磁感應(yīng)強度變?yōu)?\frac{{B}_{0}}{2}$，在磁場中運動時間最長的粒子進入磁場時位置的橫坐標是（$\frac{3（2-\sqrt{3}）}{8}d$，$-\frac{3}{8}d$）．

點評 本題的靚點有兩個：①粒子先在豎直方向上做勻加速直線運動，后做勻減速直線運動，由于加速大小相等而方向相反，則離開電場的速度沿水平方向．②磁場減半時，半徑加倍，要使粒子在磁場中的運動時間最長，則軌跡弧所對的弦長應(yīng)為磁場圓的直徑，由幾何關(guān)系就能求出入射點的坐標．