Question

3．如圖所示，光滑的長(zhǎng)直金屬桿上套兩個(gè)小金屬環(huán)a和b，a和b與形狀為一個(gè)完整正弦曲線的剛性金屬導(dǎo)線焊接，導(dǎo)線的其余部分未與桿接觸，且a和b始終與金屬桿接觸良好．桿電阻不計(jì)，導(dǎo)線電阻為R，a、b間距離為2L，正弦曲線頂部和底部到桿距離都為d．有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為L(zhǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)線所在平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．導(dǎo)線在外力F作用下沿桿以恒定的速度v向右運(yùn)動(dòng)，t=0時(shí)刻導(dǎo)線從磁場(chǎng)左邊界上的O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，導(dǎo)線從左邊界進(jìn)入磁場(chǎng)直到全部離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中
（1）若規(guī)定金屬桿中通過(guò)的電流i從a到b為正方向，寫出電流i隨時(shí)間t的變化關(guān)系，并畫出i-t圖象；
（2）求上述過(guò)程中外力F所做的功．

Answer 1

分析 （1）由楞次定律得到電流方向，根據(jù)幾何關(guān)系得到切割磁感線的有效長(zhǎng)度，進(jìn)而得到電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律即可求得電流；
（2）由能量守恒定律得到外力做的功即產(chǎn)生的焦耳熱，再根據(jù)交變電流的焦耳熱求解公式得到導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)過(guò)程產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）當(dāng)$0≤t≤\frac{L}{v}$時(shí)，導(dǎo)線切割磁感線的有效長(zhǎng)度$l=dsin\frac{πvt}{L}$，故產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)$E=Blv=Bdvsin\frac{πvt}{L}$，所以，電流$i=\frac{E}{R}=\frac{Bdv}{R}sin\frac{πvt}{L}$；由楞次定律可知電流方向?yàn)檎��?br />當(dāng)$\frac{L}{v}＜t≤\frac{2L}{v}$時(shí)，導(dǎo)線在磁場(chǎng)左右邊界切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，導(dǎo)線切割磁感線在磁場(chǎng)右邊界的有效長(zhǎng)度${l}_{1}=|dsin\frac{π（vt-L）}{L}|=dsin\frac{πvt}{L}$，導(dǎo)線切割磁感線在磁場(chǎng)左邊界的有效長(zhǎng)度${l}_{2}=dsin\frac{πvt}{L}$，那么，由楞次定律可知，兩部分電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的電流方向都為負(fù)，故$i=-\frac{B{l}_{1}v}{R}-\frac{B{l}_{2}v}{R}=-\frac{2Bdv}{R}sin\frac{πvt}{L}$；
當(dāng)$\frac{2L}{v}＜t≤\frac{3L}{v}$時(shí)，導(dǎo)線切割磁感線的有效長(zhǎng)度$l′={l}_{1}=dsin\frac{πvt}{L}$，由楞次定律可知電流方向?yàn)檎�；所�?i=\frac{Bl′v}{R}=\frac{Bdv}{R}sin\frac{πvt}{L}$；
所以，i-t圖象如圖所示，；
（2）由能量守恒可得：此過(guò)程中外力F做的功等于回路產(chǎn)生的焦耳熱．根據(jù)有效值的定義，有：
${W}_{F}={\overline{I}}^{2}Rt=\frac{1}{2}{{I}_{m}}^{2}Rt$=$\frac{1}{2}×（\frac{Bdv}{R}）^{2}×R×\frac{L}{v}+\frac{1}{2}×（\frac{2Bdv}{R}）^{2}×R×\frac{L}{v}+\frac{1}{2}×（\frac{Bdv}{R}）^{2}×R×\frac{L}{v}$=$\frac{{3B}^{2}0x7hfim^{2}vL}{R}$；
答：（1）若規(guī)定金屬桿中通過(guò)的電流i從a到b為正方向，則電流i隨時(shí)間t的變化關(guān)系：當(dāng)$0≤t≤\frac{L}{v}$時(shí)為$\frac{Bdv}{R}sin\frac{πvt}{L}$；當(dāng)$\frac{L}{v}＜t≤\frac{2L}{v}$時(shí)為$-\frac{2Bdv}{R}sin\frac{πvt}{L}$；當(dāng)$\frac{2L}{v}＜t≤\frac{3L}{v}$時(shí)為$\frac{Bdv}{R}sin\frac{πvt}{L}$；
（2）上述過(guò)程中外力F所做的功為$\frac{3{B}^{2}zyqurvn^{2}vL}{R}$．

點(diǎn)評(píng) 在閉合電路切割磁感線的問(wèn)題中，我們通常根據(jù)閉合電路的運(yùn)動(dòng)，由楞次定律判斷電流方向；再求解電動(dòng)勢(shì)，然后由閉合電路的歐姆定律求得電流大�。�