Question

6．如圖所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ電阻不計(jì)，其間距離為L，兩導(dǎo)軌及其構(gòu)成的平面與水平面成θ角，兩根用細(xì)線連接的金屬桿ab、cd分別垂直導(dǎo)軌放置，平行斜面向上的外力F作用在桿ab上，使兩桿靜止，已知兩金屬桿ab、cd的質(zhì)量分別為m和2m，兩金屬桿的電阻都為R，并且和導(dǎo)軌始終保持良好接觸，整個裝置處在垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．某時(shí)刻將細(xì)線燒斷，保持桿ab靜止不動，重力加速度為g．求：
（1）細(xì)線燒斷后外力F的最小值F₁和最大值F₂；
（2）當(dāng)外力F=$\frac{{F}_{1}+{F}_{2}}{2}$時(shí)，cd桿的速度大小；
（3）從細(xì)線燒斷到cd桿達(dá)到最大速度，桿ab產(chǎn)生的電熱為Q，求cd桿在此過程中經(jīng)過的位移s．

Answer 1

分析 （1）桿ab靜止不動，細(xì)線剪斷后cd棒向下加速運(yùn)動，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，速度增大，安培力增大，當(dāng)安培力與重力的下滑分力平衡時(shí)開始勻速運(yùn)動，速度最大．在這個過程中，ab所受的安培力逐漸增大直到不變，所以開始時(shí)F最小，cd勻速運(yùn)動時(shí)F最大．由平衡條件求解．
（2）當(dāng)外力F=$\frac{{F}_{1}+{F}_{2}}{2}$ 時(shí)，度ab桿受力分析得到安培力大小，對cd桿根據(jù)切割公式和歐姆定律公式得到cd桿的速度大�。�
（3）根據(jù)平衡條件求出cd桿的最大速度，由能量守恒求解位移s．

解答 解：（1）細(xì)線燒斷瞬間，外力F取得最小值F₁，對桿ab：F₁=mgsinθ，
桿到達(dá)最大速度v_m時(shí)，外力F取得最大值F₂，對桿ab：F₂=mgsinθ+F_安，
對cd桿，因其勻速運(yùn)動，則：F_安'=2mgsinθ，
顯然：F_安=F_安'，
代入可得：F₂=3mgsinθ；
（2）當(dāng)外力F=$\frac{{F}_{1}+{F}_{2}}{2}$  時(shí)，對桿ab：F=mgsinθ+F_安=2mgsinθ，
可得：F_安=mgsinθ，
又知：F_安=BIL，
其中：I=$\frac{BLv}{2R}$，
可得此時(shí)cd桿勻速運(yùn)動速度：v=$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）由于兩桿電阻相等，所以產(chǎn)生電熱相等．cd桿達(dá)到最大速度前，電路產(chǎn)生的總電熱為2Q，
設(shè)cd桿達(dá)到最大速度前經(jīng)過的位移為x，由能量守恒可知：2mgsinθ•s=$\frac{1}{2}$（2m）v+2Q，
cd桿最后勻速時(shí)：F_安=2mgsinθ=BIL，I=$\frac{BL{v}_{max}}{2R}$，
聯(lián)立得：s=$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}si{n}^{2}θ+{B}^{4}{L}^{4}Q}{{B}^{4}{L}^{4}mgsinθ}$；
答：（1）細(xì)線燒斷后外力F的最小值F₁為mgsinθ，最大值F₂為3mgsinθ；
（2）當(dāng)外力F=$\frac{{F}_{1}+{F}_{2}}{2}$時(shí)，cd桿的速度大小為$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）cd桿在此過程中經(jīng)過的位移s為$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}si{n}^{2}θ+{B}^{4}{L}^{4}Q}{{B}^{4}{L}^{4}mgsinθ}$．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，綜合運(yùn)用電磁磁學(xué)知識和力平衡知識．關(guān)鍵要正確分析cd桿的運(yùn)動情況，熟練求解安培力，把握能量如何轉(zhuǎn)化的．