Question

一飛船在某星球表面附近，受星球引力作用而繞其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v₁；飛船在離該星球表面高度為h處，受星球引力作用而繞其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v₂．已知萬有引力恒量為G．試求
（1）該星球的質(zhì)量
（2）若設(shè)該星球的質(zhì)量為M，一個(gè)質(zhì)量為m的物體在離該星球球心r遠(yuǎn)處具有的引力勢(shì)能為E_Pr=-

GMm

r

，則一顆質(zhì)量為m₁的衛(wèi)星由r₁軌道變?yōu)閞₂（r₁＜r₂）軌道，對(duì)衛(wèi)星至少做多少功？（衛(wèi)星在r₁、r₂軌道上均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)果請(qǐng)用M、m₁、r₁、r₂、G表示）

Answer 1

分析：（1）由兩個(gè)軌道上的運(yùn)動(dòng)速度，可以列兩次萬有引力充當(dāng)向心力的表達(dá)式，聯(lián)立可以解得星球質(zhì)量
（2）已知衛(wèi)星引力勢(shì)能的表達(dá)式，又由圓周運(yùn)動(dòng)可得動(dòng)能表達(dá)式，兩者相加為該軌道上的機(jī)械能，則兩個(gè)軌道機(jī)械能之差就是需要對(duì)衛(wèi)星做的功

解答：解：
（1）由萬有引力提供向心力的速度表達(dá)式：

GMm

r2

=m

v2

r

，
可知在星球表面時(shí)：

GMm

R2

=m

v12

R

，
在高空h處：

GMm

(R+h)2

=m

v22

R+h

，
聯(lián)立解得：M=

hv12v22

G(v12-v22)

（2）由

GMm

r2

=m

v2

r

得軌道半徑為r時(shí)的動(dòng)能為：Ek=

GMm

2r

，
又引力勢(shì)能為：E_P=-

GMm

r

，
衛(wèi)星在該軌道上的機(jī)械能為：E=Ek+Ep=-

GMm

2r

，
則變軌需要對(duì)衛(wèi)星做的功為衛(wèi)星機(jī)械能的增加量，
即：W=E2-E1=E=-

GMm

2r2

+

GMm

2r1

=

1

2

GMm

r2-r1

r1r2

答：（1）星球的質(zhì)量為：M=

hv12v22

G(v12-v22)

（2）變軌需要對(duì)衛(wèi)星做的功為：W=

1

2

GMm

r2-r1

r1r2

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)是要利用好給定的引力勢(shì)能，知道變軌做的功應(yīng)等于衛(wèi)星在兩個(gè)軌道上的機(jī)械能的差值．