Question

3．游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來，如圖1所示．我們把這種情形抽象成為如圖2的模型：弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端滾下，并進入到圓形軌道內運動．實驗發(fā)現(xiàn)，h較小時，小球到不了圓軌道的最高點，也不會脫離圓形軌道；h較大時，小球可以順利通過圓形軌道的最高點而在豎直面內做完整的圓周運動．不考慮各種阻力的作用，小球視為質量為m的質點，圓軌道的半徑為R．問：

（1）h滿足什么條件時，小球可以順利通過圓形軌道的最高點而在豎直面內做完整的圓周運動？
（2）h滿足什么條件時，小球到不了圓軌道的最高點，也不會脫離圓形軌道，在此條件下，小球對圓形軌道的最低點的最大壓力是多少？

Answer 1

分析 （1）小球不脫離軌道有兩種情形：一種小球能通過最高點做完整的圓周運動．另一種小球下半個圓軌道上來回運動．當小球恰能通過最高點時由重力作為向心力，由向心力的公式可以求得小球通過最高點的臨界速度，再由機械能守恒可以求得離地面的高度h．
（2）當小球恰好通過與軌道圓心等高位置時速度為零，由機械能守恒求此時的h，即可得到h的范圍，結合機械能守恒求出此時小球的速度，再由向心力的表達式即可求出．

解答 解：（1）設小球能經過最高點，且過最高點時的速度為v，
在最高點$F+mg=m\frac{v^2}{R}$
小球能過最高點，應滿足：F≥0
從釋放到小球運動到圓軌道的最高點的過程中$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}+mg•2R$
解得：$h≥\frac{5}{2}R$
（2）小球在圓軌道內上升的高度不超過圓心，則小球就不會脫軌，所以h≤R． 
當h=R時，小球過最低點時速度最大，對軌道的壓力最大，從釋放到最低點的過程中，$\frac{1}{2}mv_1^2=mgR$
式中v₁為h=R時小球經過圓軌道最低點時的速度．
在最低點：${F_{max}}-mg=m\frac{v_1^2}{R}$
解得：F_max=3mg
答：（1）當滿足$h≥\frac{5}{2}R$時，小球可以順利通過圓形軌道的最高點而在豎直面內做完整的圓周運動；
（2）當滿足h≤R時，小球到不了圓軌道的最高點，也不會脫離圓形軌道，在此條件下，小球對圓形軌道的最低點的最大壓力是3mg．

點評 本題屬于圓周運動中繩的模型，在最高點時應該是重力恰好作為圓周運動的向心力，對于圓周運動中的兩種模型一定要牢牢的掌握．