Question

如圖所示，坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．y＜0的區(qū)域有垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；在第一象限的空間內(nèi)有與x軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫(huà)出）；第四象限有與x軸同方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)；第三象限也存在著勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫(huà)出）．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電微粒從第一象限的P點(diǎn)由靜止釋放，恰好能在坐標(biāo)平面內(nèi)沿與x軸成θ=30°角的直線斜向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)x軸上的a點(diǎn)進(jìn)入y＜0的區(qū)域后開(kāi)始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)y軸上的b點(diǎn)進(jìn)入x＜0的區(qū)域后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后通過(guò)x軸上的c點(diǎn)，且Oa=Oc．已知重力加速度為g，空氣阻力可忽略不計(jì)，求：
（1）第一象限電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E₁的大小及方向；
（2）帶電微粒由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的過(guò)程中，其電勢(shì)能的變化量大�。�
（3）帶電微粒從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)粒子在第四象限內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡，知微粒帶正電，根據(jù)粒子在第一象限內(nèi)，合力的方向沿Pa方向，可知電場(chǎng)力的方向，從而確定電場(chǎng)強(qiáng)度的方向，根據(jù)平行四邊形定則求出電場(chǎng)力大小，從而得出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（2）根據(jù)電場(chǎng)力做功判斷電勢(shì)能的變化量，在）帶電粒子從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的過(guò)程中，速度大小不變，即動(dòng)能不變，且重力做功為零，所以從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的過(guò)程中，電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做功為零．根據(jù)粒子在第四象限做勻速直線運(yùn)動(dòng)得出速度的大小，從而得出粒子在第一象限內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)在x軸上的分速度，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出沿x軸方向上的位移，從而確定出粒子在第一象限內(nèi)電場(chǎng)力做的功，根據(jù)整個(gè)過(guò)程電場(chǎng)力做功求出電勢(shì)能的變化量大�。�
（3）粒子在第三象限內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在第四象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合帶電粒子在第三象限內(nèi)的位移和第四象限內(nèi)的圓心角，分別求出在兩個(gè)象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而確定出總時(shí)間．

解答：解：（1）在第一象限內(nèi)，帶電微粒從靜止開(kāi)始沿Pa做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，受重力mg和電場(chǎng)力qE₁的合力一定沿Pa方向，電場(chǎng)力qE₁一定水平向左．
帶電微粒在第四象限內(nèi)受重力mg、電場(chǎng)力qE₂和洛侖茲力qvB做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所受合力為零．分析受力可知微粒所受電場(chǎng)力一定水平向右，故微粒一定帶正電．
所以，在第一象限內(nèi)E₁方向水平向左（或沿x軸負(fù)方向）．
根據(jù)平行四邊形定則，有 mg=qE₁tanθ
解得 E1=

3 mg

q

．
（2）帶電粒子從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的過(guò)程中，速度大小不變，即動(dòng)能不變，且重力做功為零，所以從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的過(guò)程中，電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做功為零．
由于帶電微粒在第四象限內(nèi)所受合力為零，因此有 qvBcosθ=mg
帶電粒子通過(guò)a點(diǎn)的水平分速度v_x=vcosθ=

mg

Bq

帶電粒子在第一象限時(shí)的水平加速度a_x=

qE1

m

=

3

g
帶電粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)過(guò)程中沿水平方向的位移x=

v 2 x

2a

=

3 m2g

6B2q2

．
由P點(diǎn)到a點(diǎn)過(guò)程中電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子所做的功W_電=qE₁x=

m3g2

2B2q2

因此帶電微粒由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的過(guò)程中，電勢(shì)能的變化量大小
△E_電=

m3g2

2B2q2

（3）在第三象限內(nèi)，帶電微粒由b點(diǎn)到c點(diǎn)受重力mg、電場(chǎng)力qE₃和洛侖茲力qvB做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，一定是重力與電場(chǎng)力平衡，所以有
qE₃=mg
設(shè)帶電微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律，有 qvB=m

v2

R

帶電微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期
T=

2πR

v

=

2πm

qB

帶電微粒在第三象限運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，連接bc弦，因Oa=Oc，所以△abc為等腰三角形，即∠Ocb=∠Oab=30°．過(guò)b點(diǎn)做ab的垂線，與x軸交于d點(diǎn)，因∠Oba=60°，所以∠Obd=30°，因此△bcd為等腰三角形，bc弦的垂直平分線必交于x軸上的d點(diǎn)，即d點(diǎn)為軌跡圓的圓心．
所以帶電粒子在第四象限運(yùn)動(dòng)的位移x_ab=Rcotθ=

3

R
其在第四象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁=

xab

v

=

3 m

qB

由上述幾何關(guān)系可知，帶電微粒在第三象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為120°，即轉(zhuǎn)過(guò)

1

3

圓周，所以從b到c的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t₂=

T

3

=

2πm

3qB

因此從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的時(shí)間 t=t₁+t₂=

3 m

qB

+

2πm

3qB

=(

3

+

2π

3

)

m

qB

．
答：（1）第一象限電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E₁的大小E1=

3 mg

q

，方向水平向左．
（2）帶電微粒由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的過(guò)程中，其電勢(shì)能的變化量大小為

m3g2

2B2q2

．
（3）帶電微粒從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為(

3

+

2π

3

)

m

qB

．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是整個(gè)高中的重點(diǎn)，也是高考的必考的內(nèi)容，粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程的受力分析以及運(yùn)動(dòng)情況分析是解題的關(guān)鍵．