Question

如圖所示，一帶電粒子從Y軸上的a點(diǎn)以平行于X軸的方向射入第一象限區(qū)域，射入的速度為v₀．帶電粒子的質(zhì)量為m，帶負(fù)電，電荷量為q．為了使帶電粒子通過X軸上的b點(diǎn)，可在第一象限的某區(qū)域加一個(gè)沿Y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，電場(chǎng)區(qū)域沿Y軸方向無限長(zhǎng)，沿X方向的寬度為s．已知Oa=L，O_b=2s，不計(jì)帶電粒子的重力．
（1）若b點(diǎn)在電場(chǎng)內(nèi)，要使粒子過b點(diǎn)，求該電場(chǎng)的左邊界與b點(diǎn)的距離．
（2）若b點(diǎn)在電場(chǎng)外，在第一象限緊挨電場(chǎng)右側(cè)加一個(gè)垂直于XOY平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，該磁場(chǎng)足夠大，使得粒子也能過b點(diǎn)且速度方向沿X軸正方向，求該電場(chǎng)的左邊界與b點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析：（1）b點(diǎn)在電場(chǎng)內(nèi)，帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向受豎直向下的電場(chǎng)力作用做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式解得結(jié)果；
（2）粒子的運(yùn)動(dòng)過程分為兩部分，在電場(chǎng)內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合軌跡圖和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由幾何關(guān)系可求得電場(chǎng)的左邊界與b點(diǎn)的距離．

解答：解：（1）帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)后沿X方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿Y方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；
根據(jù)牛頓第二定律得，帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度大小為：
a=

qE

m

 
帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)后在X方向的位移為l，在Y方向的位移為L(zhǎng)，如由圖所示：根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，有

l=v₀t                     
L=

1

2

qE

m

t²                   
消去t，解得：
l=v₀

2mL qE

即該電場(chǎng)的左邊界與b點(diǎn)的距離為v₀

2mL qE

；
（2）分析可知，磁場(chǎng)方向應(yīng)垂直XOY平面向外，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的速率為v，運(yùn)動(dòng)半徑為R，則
由Bqv=

mv2

R

              
得R=

mv

qB

                
由幾何關(guān)系可知：
AC=Rsinθ              
所以l=s+AC=s+

mv

qB

sinθ
其中：sinθ=

at

v

=

qEs

mv0v

      
所以：l=s+

mv

qB

?

qEs

mv0v

=s+

Es

Bv0

；
答：（1）電場(chǎng)的左邊界與b點(diǎn)的距離v₀

2mL qE

；
（2）電場(chǎng)的左邊界與b點(diǎn)的距離s+

Es

Bv0

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，畫出軌跡圖，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．