Question

2．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，在x軸上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁垂直平面向外勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在x軸下方除了xOA三角形區(qū)域內(nèi)有平行x軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出）外，其余區(qū)域有有磁惑應(yīng)強(qiáng)度為B₂垂直平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，B₁、B₂大小末知，但B₁=$\frac{4}{3}$B₂，一個(gè)初速度為v₀的帶正電的粒子，從x軸上的P點(diǎn)垂直x軸進(jìn)入xOA區(qū)域的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，粒子經(jīng)過0A邊時(shí)，速度方向是垂直O(jiān)A邊的，再次經(jīng)過x軸的正半軸上的Q點(diǎn)時(shí)（Q點(diǎn)未畫出）速度方向也是與x軸垂直，帶電粒子沒有從OA邊進(jìn)入電場(chǎng)，已知：∠XOA=45°，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（L，0），帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q（不計(jì)帶電粒子重力）．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向？
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大��？
（3）帶電粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間？
（4）P、Q兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)所受的電場(chǎng)力方向確定電場(chǎng)強(qiáng)度的方向，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出場(chǎng)強(qiáng)E；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)${B}_{2}^{\;}$中的半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出${B}_{2}^{\;}$，由${B}_{1}^{\;}$、${B}_{2}^{\;}$的關(guān)系求出${B}_{1}^{\;}$；
（3）分別求出粒子類平拋時(shí)間和在勻強(qiáng)磁場(chǎng)${B}_{1}^{\;}$、${B}_{2}^{\;}$中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間之和，即可求出帶電粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間；
（4）根據(jù)幾何關(guān)系求出P、Q兩點(diǎn)間的距離；

解答 解：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，可知帶電粒子受到電場(chǎng)力平行x軸，方向沿x軸負(fù)方向．由于帶電粒子帶正電，所以電場(chǎng)強(qiáng)度方向平行x軸，沿x軸負(fù)方向
由牛頓第二定律得：帶電粒子的加速度$a=\frac{qE}{m}$
根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：
x軸方向：$x=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，${v}_{x}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}$
y軸方向：$y={v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
$tan45°=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$
由幾何關(guān)系可得：x+y=L
綜上解得：$E=\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qL}$，${t}_{1}^{\;}=\frac{2L}{3{v}_{0}^{\;}}$，$y=\frac{2L}{3}$
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度$v=\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}$
粒子經(jīng)過OA邊時(shí)，速度方向是垂直O(jiān)A邊的，再次經(jīng)過x軸的正半軸上的Q點(diǎn)時(shí)，速度也是與x軸垂直，說明帶電粒子經(jīng)過x軸負(fù)半軸時(shí)，也與x軸垂直，所以帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)${B}_{2}^{\;}$中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心就是原點(diǎn)O，所以粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)${B}_{2}^{\;}$中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑${r}_{2}^{\;}=\sqrt{2}y=\frac{2\sqrt{2}}{3}L$
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供
$qv{B}_{2}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{2}^{\;}}$，解得：${B}_{2}^{\;}=\frac{mv}{q{r}_{2}^{\;}}=\frac{3m{v}_{0}^{\;}}{2qL}$，所以${B}_{1}^{\;}=\frac{4}{3}{B}_{2}^{\;}=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qL}$
粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)${B}_{2}^{\;}$中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{2}^{\;}=\frac{s}{v}=\frac{\frac{3}{4}π{r}_{2}^{\;}}{v}=\frac{πL}{2{v}_{0}^{\;}}$
（3）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)${B}_{1}^{\;}$中做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供
$qv{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$，解得：${r}_{1}^{\;}=\frac{mv}{q{B}_{1}^{\;}}=\frac{\sqrt{2}}{2}L$
粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)${B}_{1}^{\;}$中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{3}^{\;}=\frac{s′}{v}=\frac{π{r}_{1}^{\;}}{v}=\frac{πL}{2{v}_{0}^{\;}}$
所以帶電粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{（2+3π）L}{3{v}_{0}^{\;}}$
（4）P、Q兩點(diǎn)間的距離$△x=L+{r}_{2}^{\;}-2{r}_{1}^{\;}=\frac{3-\sqrt{2}}{3}L$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿x軸負(fù)方向，大小為$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qL}$
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小$\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{2qL}$
（3）帶電粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間$\frac{（2+3π）L}{3{v}_{0}^{\;}}$
（4）P、Q兩點(diǎn)間的距離$\frac{3-\sqrt{2}}{3}L$

點(diǎn)評(píng) 考查帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類平拋運(yùn)動(dòng)中，用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，并結(jié)合幾何關(guān)系來處理這兩種運(yùn)動(dòng)，強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)的分解，并突出準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)軌跡圖．