Question

11．如圖所示，在勻強電場中建立直角坐標系xOy中，一質量為m、電荷量為+q的微粒從x軸上的M點射出，方向與x軸夾角為θ，微粒恰能以速度v做勻速直線運動，已知重力加速度為g．
（1）求勻強電場場強E的大小和方向；
（2）若再疊加一圓心在y軸的圓形勻強磁場，為使微粒能到達x軸上的N點，M、N兩點關于原點O對稱，微粒運動軌跡關于y軸對稱．已知磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直xOy平面向外，求磁場區(qū)域的最小面積S；
（3）若所疊加的圓形勻強磁場邊界過坐標原點O，圓心仍在y軸上，M點距原點O的距離為L，為使進入磁場中的粒子剛好不能離開磁場，θ角與微粒的速度v應滿足什么關系？

Answer 1

分析 （1）微粒恰能以速度v做勻速直線運動，受力平衡，根據(jù)平衡條件求場強E的大小；
（2）微粒運動軌跡也關于y軸對稱，則粒子在磁場中的偏轉角為2θ，磁場區(qū)域有最小面積S時，是以磁場中圓周運動的弦為直徑的圓．
（3）當微粒在磁場中做圓周運動的半徑r等于圓形磁場的半徑R時，微粒剛好不能離開磁場；根據(jù)幾何關系可明確θ角與微粒的速度v應滿足的關系．

解答 解：
（1）微粒做勻速直線運動，則電場力與重力平衡
qE=mg       
則：E=$\frac{mg}{q}$
方向豎直向上       
（2）微粒進入磁場中，洛倫茲力充當向心力
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：R=$\frac{mv}{qB}$
如圖，當PQ為圓形磁場的直徑時，圓形磁場面積最小，則   
r=Rsinθ=$\frac{mv}{qB}sinθ$
其最小面積為：S=πr²=$\frac{π{m}^{2}{v}^{2}si{n}^{2}θ}{{q}^{2}{B}^{2}}$
（3）微粒的速度與磁場邊界相切進入磁場，
當微粒在磁場中做圓周運動的半徑r等于圓形磁場的半徑R時，
微粒剛好不能離開磁場，如圖可得：
r=R=$\frac{mv}{qB}$
tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{r}{L}$=$\frac{mv}{qBL}$
則 θ=2arctan$\frac{mv}{qBL}$ 
答：（1）求勻強電場場強E的大小為$\frac{mg}{q}$；方向豎直向上；
（2）磁場區(qū)域的最小面積S為$\frac{π{m}^{2}{v}^{2}si{n}^{2}θ}{{q}^{2}{B}^{2}}$
（3）θ角與微粒的速度v應滿足θ=2arctan$\frac{mv}{qBL}$

點評 本題是帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，要求同學們能畫出粒子運動的軌跡，結合幾何關系求解，知道半徑公式及何時所加磁場區(qū)域面積最�。�此類題型一定要注意明確幾何關系的正確應用．