Question

7．如圖（a）所示，平行金屬板A和B間的距離為d，現在A、B板上加上如圖（b）所示的方波形電壓，t=0時A板比B板的電勢高，電壓的正向值為U₀，反向值也為U₀，現有由質量為m的帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點O以平行于金屬板方向OO'的速度v₀=$\frac{q{U}_{0}T}{3dm}$不斷射入，所有粒子不會撞到金屬板且在AB間的飛行時間均為T，不計重力影響．試求：

（1）粒子射出電場時的速度大小及方向；
（2）粒子打出電場時位置離O'點的距離范圍；
（3）若要使打出電場的粒子經某一垂直紙面的圓形區(qū)域勻強磁場偏轉后，都能到達圓形磁場邊界的同一個點，而便于再收集，則磁場區(qū)域的最小半徑和相應的磁感強度是多大？

Answer 1

分析 （1）將粒子的運動沿著平行于初速度方向和垂直于初速度的方向正交分解，在平行于初速度方向，粒子做勻速直線運動，在垂直于初速度方向，粒子在電場力的作用下做變速直線運動，求出兩個方向上的分速度，最后得到合速度即可；
（2）粒子在t=0、T、2T…時刻進入時，O′位置偏向最下端；粒子在t=nT+$\frac{1}{3}$T時時刻進入時，O′位置偏向最上端，根據運動學公式列式求解即可．
（3）粒子在打出粒子的速度都是相同的，由速度合成法求出粒子的速度．要使平行粒子能夠交于圓形磁場區(qū)域邊界且有最小區(qū)域時，磁場直徑最小值與粒子寬度相等，即可得到磁場區(qū)域的最小半徑．粒子進入勻強磁場中，由洛倫茲力提供向心力，可牛頓第二定律求出相應的磁感強度

解答 解：（1）飛出粒子的速度都相同，在沿電場線方向速度大小均為${v}_{y}^{\;}=\frac{q{U}_{0}^{\;}}{dm}•\frac{T}{3}$ ①
飛出速度大小為 $v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{q{U}_{0}^{\;}T}{3dm}）_{\;}^{2}+（\frac{q{U}_{0}^{\;}T}{3dm}）_{\;}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}^{\;}T}{3dm}$ ②
設速度v的方向與${v}_{0}^{\;}$的夾角為θ，則$tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=1$③
所以，方向水平方向右下角為θ=45°，大小$v=\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}^{\;}T}{3dm}$
（2）當粒子由t=nT時刻進入電場，向下側移最大，則${S}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a（\frac{T}{3}）_{\;}^{2}$ ④
且$a=\frac{q{U}_{0}^{\;}}{dm}$     ⑤
解得${S}_{1}^{\;}=\frac{q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{18dm}$
當粒子由$t=nT+\frac{1}{3}T$時刻進入電場，向上側移最大，
則${S}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}a（\frac{2T}{3}）_{\;}^{2}+a（\frac{2T}{3}）（\frac{T}{3}）-\frac{1}{2}a（\frac{T}{3}）_{\;}^{2}$      ⑥
解得 ${S}_{2}^{\;}=\frac{7q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{18dm}$
所以，在距離O′中點上方$\frac{7q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{18dm}$ 至下方$\frac{q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{18dm}$范圍內有粒子打出
（3）要使平行粒子能夠交于圓形磁場區(qū)域邊界且有最小區(qū)域時，磁場直徑最小值與粒子寬度相等，

粒子寬度$D=\frac{4q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{9dm}cos45°$=$\frac{2\sqrt{2}q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{9dm}$      ⑦
故磁場區(qū)域的最小半徑為$r=\frac{D}{2}=\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{9dm}$   ⑧
粒子在磁場中做圓周運動有$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$   ⑨
解得$B=\frac{3m}{qT}$
答：（1）粒子射出電場時的速度大小為$\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}^{\;}T}{3dm}$，方向水平方向右下角為θ=45°；
（2）粒子打出電場時位置離O'點的距離范圍，在距離O′中點上方$\frac{7q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{18dm}$ 至下方$\frac{q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{18dm}$范圍內有粒子打出；
（3）若要使打出電場的粒子經某一垂直紙面的圓形區(qū)域勻強磁場偏轉后，都能到達圓形磁場邊界的同一個點，而便于再收集，則磁場區(qū)域的最小半徑$\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{9dm}$，相應的磁感強度是$\frac{3m}{qT}$

點評 本題關鍵將粒子的運動沿著平行于初速度方向和垂直于初速度方向進行正交分解，然后根據運動學公式列式求解．解題的關鍵在于分析豎直方向上的運動規(guī)律，必要時可能通過作出豎直分運動的v-t圖象進行分析求解．