Question

13．如圖甲所示，在平行邊界MN、PQ之間，存在寬度為l方向平行紙面且與邊界垂直的變化電場(chǎng)，其電場(chǎng)隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖乙所示，MN、PQ兩側(cè)足夠大區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向外、大小相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一重力不計(jì)的帶電粒子，從t=0時(shí)自邊界PQ上某點(diǎn)由靜止第一次經(jīng)電場(chǎng)加速后，以速度v₁垂直邊界MN第一次射入磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．接著第二次進(jìn)入電場(chǎng)中做勻加速運(yùn)動(dòng)，然后垂直邊界PQ第二次進(jìn)入磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，伺候粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)這交替運(yùn)動(dòng)．已知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)為零．求：

（1）粒子第一次與第三次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑之比；
（2）粒子第n次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子從PQ邊界上的某點(diǎn)釋放后，進(jìn)入電場(chǎng)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可以求出粒子右邊磁場(chǎng)的速度，由洛侖茲力提供向心力可以表示出粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．同理第三次進(jìn)入磁場(chǎng)是經(jīng)過(guò)電場(chǎng)三次加速后，可以把三次電場(chǎng)力做功表示在一起，求出速度，再表示出半徑．
（2）由上一問(wèn)的結(jié)論，粒子經(jīng)過(guò)n次加速后的初末速度能夠求出，而位移就是寬度l，所以由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式就能求出時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，第一次和第三次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r₁、r₃，
  第二次出電場(chǎng)時(shí)的速度為v₂，第三次出電場(chǎng)時(shí)的速度為v₃．粒子第一、二、三次在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，
  由動(dòng)能定理得
  E₁ql=$\frac{1}{2}$mv₁²               ①
  E₁ql+E₂ql=$\frac{1}{2}$mv₂²        ②
  E₁ql+E₂ql+E₃ql=$\frac{1}{2}$mv₃²    ③
  由圖乙得
   E₁：E₂：E₃=1：3：5       ④
 由①②③④得
    v₁：v₂：v₃=1：2：3       ⑤
 粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)由牛頓第二定律得
   qv₁B=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$；  qv₃B=m$\frac{{{v}_{3}}^{2}}{{r}_{3}}$    ⑥
 聯(lián)立以上各式解得
  r₁：r₃=1：3              
（2）粒子第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度為v_n-1，出電場(chǎng)時(shí)的速度為v_n，加速度為a_n，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t_n．
 由⑤類推得
   v_n=n v₁；v_n-1=（n-1）v₁        ⑦
 由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式$l=\frac{{{v_{n-1}}+{v_n}}}{2}{t_n}$      ⑧
 聯(lián)立⑦⑧解得
   t_n=$\frac{2l}{（2n-1）{v}_{1}}$
答：（1）粒子第一次與第三次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑之比為1：3．
（2）粒子第n次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)所用的時(shí)間為$\frac{2l}{（2n-1）{v}_{1}}$．

點(diǎn)評(píng) 看似復(fù)雜的題目，帶電粒子先在勻強(qiáng)電場(chǎng)中加速，后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)轉(zhuǎn)半周再次進(jìn)入增大的勻強(qiáng)電場(chǎng)加速，如此循環(huán)…但由于題目不涉及時(shí)間問(wèn)題（圖象中的橫坐標(biāo)未標(biāo)注）只是求半徑之比及經(jīng)過(guò)n次加速在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，考察的知識(shí)點(diǎn)較簡(jiǎn)單，涉及的只是洛侖茲力提供向心力以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式問(wèn)題．