Question

（2008?昆明模擬）如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，勻強(qiáng)電場(chǎng)方向水平向右，直角坐標(biāo)系x0y的原點(diǎn)O處有一能向各個(gè)方向發(fā)射帶電粒子（不計(jì)重力）的放射源、當(dāng)帶電粒子以某一初速度沿y軸正方向射入該區(qū)域時(shí)，恰好能沿y軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)．若撤去磁場(chǎng)只保留電場(chǎng)，粒子以相同的速度從O點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后通過(guò)第一象限的P點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（L，

3

L）．若撤去電場(chǎng)，只保留磁場(chǎng)，讓粒子以相同速率從O點(diǎn)射入，求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）若要使粒子射出后仍能通過(guò)P點(diǎn)，求粒子從O點(diǎn)射出時(shí)的速度方向．

Answer 1

分析：（1）電磁場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)，由粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力等于洛倫茲力，列式求解出速度；只有電場(chǎng)時(shí)，做拋物線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式列式；僅在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力列式，聯(lián)立求解即可；
（2）圓心在線段OP中垂線上，畫(huà)出可能的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡，并結(jié)合幾何關(guān)系列式計(jì)算速度方向．

解答：解：（1）電磁場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)，由粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)入射速度大小為v₀得：
qv₀B=qE…①
撤去磁場(chǎng)后，粒子在電場(chǎng)中做曲線運(yùn)動(dòng)，將合運(yùn)動(dòng)沿著x、y方向正交分解，根據(jù)分位移公式，有

3

L=v0t…②
L=

1

2

×

qE

m

×t2…③
只保留磁場(chǎng)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)：
qv0B=m

v 2 0

R

…④
聯(lián)立以上各式解得：R=

3

2

L…⑤
（2）連接OP，作OP的中垂線交OP于O₃點(diǎn)，若粒子沿v₁方向射出，圓心為O₁，據(jù)已知條件有：

.

OO1

=

.

O1P

=R=

3

2

L…⑥

.

OP

=2L

.

OO3

=

.

O3P

=L…⑦
據(jù)幾何關(guān)系有：cos∠O3OO1=

. O3O

. OO1

=

2

3

…⑧
因v₁與

.

OO1

垂直，因此v₁與x軸正方向所成夾角為∠O₃OO₁+30°，即arccos

2

3

+30°…⑨
若粒子沿v₂方向射出，同理可解得：cos∠O3OO2=

. O3O

. OO2

=

2

3

因v₂與

.

OO2

垂直，因此v₂與x軸 正方向 所 成 夾 角 為∠O₃OO₂-30°，即arccos

2

3

-30°…⑩
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為

3

2

L；
（2）若要使粒子射出后仍能通過(guò)P點(diǎn)，粒子從O點(diǎn)射出時(shí)的速度方向與x軸成arccos

2

3

+30°角度斜向上或與x軸成arccos

2

3

-30°角度斜向下．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了粒子做類似平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，畫(huà)出圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡并結(jié)合幾何關(guān)系列式分析是關(guān)鍵．