Question

15．如圖所示，某高臺(tái)的上面有一豎直的圓弧形光滑軌道，軌道半徑R=5/4m，軌道端點(diǎn)B的切線水平．一質(zhì)量M=5kg的金屬滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）由軌道頂端A由靜止釋放，離開(kāi)B點(diǎn)后經(jīng)時(shí)間t=1s撞擊在斜面上的P點(diǎn)．已知斜面的傾角θ=37°，斜面底端C與B點(diǎn)的水平距離x₀=3m．g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計(jì)空氣阻力．
（1）求金屬滑塊M運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�
（2）若金屬滑塊M離開(kāi)B點(diǎn)時(shí)，位于斜面底端C點(diǎn)、質(zhì)量m=1kg的另一滑塊在沿斜面向上的恒定拉力F作用下由靜止開(kāi)始向上加速運(yùn)動(dòng)，恰好在P點(diǎn)被從B點(diǎn)拋出的M擊中．已知滑塊m與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，求拉力F大小．
（3）若第（2）問(wèn)中滑塊m與滑塊M碰撞時(shí)間不計(jì)，滑塊m在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)上表面水平．在P點(diǎn)碰撞后，滑塊M豎直方向上的速度大小不變，方向與碰前相反，其水平方向的速度保持不變，假設(shè)滑塊m的速度在碰撞過(guò)程中也保持不變，現(xiàn)同時(shí)改變沿斜面向上的拉力的大小使滑塊m仍沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，為了使滑塊M再次下落到斜面上時(shí)恰好與滑塊m相碰，求它們第一次相碰到第二次相碰的時(shí)間t'及拉力F'的大�。�

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律求出滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度，然后由牛頓第二定律求出軌道對(duì)滑塊的支持力，再由牛頓第三定律求出滑塊對(duì)B的壓力．
（2）由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求出M的水平位移，然后由幾何知識(shí)求出M的位移，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出M的加速度，由牛頓第二定律求出拉力大小．
（3）由牛頓第二定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和幾何關(guān)系可以求出滑塊的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）從A到B過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：MgR=$\frac{1}{2}M{v}^{2}$①
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F-Mg=$\frac{M{v}^{2}}{R}$  ②
聯(lián)立①②并帶入數(shù)據(jù)解得：F=150 N　
由牛頓第三定律可知，滑塊對(duì)B點(diǎn)的壓力F'=F=150 N．　
（2）滑塊M離開(kāi)B后做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向位移為x：x=v_Bt
設(shè)滑塊m的位移為s，由幾何知識(shí)可知：scosθ+x₀=x　
代入數(shù)據(jù)解得：x=5 m，s=2.5 m　
設(shè)滑塊m向上運(yùn)動(dòng)的加速度為a，
由勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式有：s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$　則$a=\frac{2s}{{t}^{2}}$ 
解得：a=5 m/s²　
對(duì)滑塊m，由牛頓第二定律得：F-mgsin 37°-μmgcos 37°=ma　
帶入數(shù)據(jù)解得：F=13 N．　
（3）由（2）知：對(duì)滑塊M：滑塊M與滑塊m第一次碰前的瞬間，在水平方向：v_x=v_B=5m/s
在豎直方向：v_y=gt=10 m/s（方向豎直向下）　
滑塊M與滑塊m第一次碰后的瞬間，在水平方向：=v_x=5m/s
在豎直方向：=v_y=10 m/s（方向豎直向上）　
滑塊M與滑塊m第一次碰后做斜拋運(yùn)動(dòng)，直到再次落到斜面上與m再次碰撞．
設(shè)滑塊M在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t'，由幾何關(guān)系得：$tan37°=\frac{y}{x}$  其中 $y={v}_{y}=\frac{1}{2}g{t}^{′2}$     x=v_Bt′
代入數(shù)據(jù)解得 t′=1.25s
對(duì)滑塊m，設(shè)第二次落點(diǎn)與P點(diǎn)間的距離s'，則$s′=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$帶入數(shù)據(jù)解得$s′=\frac{125}{16}$m
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，v=at和s'=vt'+$\frac{1}{2}$a't'²
解得：a'=2m/s²　
又由牛頓第二定律，可得F'-mgsin 37°-μmgcos 37°=ma'
解得：F'=10 N．　
答：（1）金屬滑塊M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小150N；
（2）拉力F大小為13N
（3）第一次碰撞到第二次碰撞的時(shí)間t′為1.25s，拉力F′的大小為10N

點(diǎn)評(píng) 本題是多體多過(guò)程問(wèn)題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、牛頓定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可正確解題