Question

【題目】如圖所示為某種彈射裝置的示意圖，該裝置由三部分組成，傳送帶左邊是足夠長的光滑水平面，一輕質彈簧左端固定，右端連接著質量M=6.0kg的物塊A。裝置的中間是水平傳送帶，它與左右兩邊的臺面等高，并能平滑對接。傳送帶的皮帶輪逆時針勻速轉動，使傳送帶上表面以u=2.0m/s勻速運動。傳送帶的右邊是一半徑R=1.25m位于豎直平面內的光滑1/4圓弧軌道。質量m=2.0kg的物塊B從1/4圓弧的最高處由靜止釋放。已知物塊B與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.1，傳送帶兩軸之間的距離l=4.5m。設物塊A、B之間發(fā)生的是正對彈性碰撞，第一次碰撞前，物塊A靜止。取g=10m/s2。求：

（1）物塊B滑到1/4圓弧的最低點C時對軌道的壓力；

（2）物塊B與物塊A第一次碰撞后彈簧的最大彈性勢能；

（3）如果物塊A、B每次碰撞后，物塊A再回到平衡位置時彈簧都會被立即鎖定，而當它們再次碰撞前鎖定被解除，求物塊B經第一次與物塊A碰撞后在傳送帶上運動的總時間。

Answer 1

【答案】（1）F1=60N，方向豎直向下（2）12J（3）8s

【解析】（1）設物塊B沿光滑曲面下滑到水平位置時的速度大小為v0.由機械能守恒知

mgR＝mv02得=5 m/s

設物塊B滑到1/4圓弧的最低點C時受到的支持力大小為F，

由牛頓第二定律得：

解得：F=60N

由牛頓第三定律得：物塊B滑到1/4圓弧的最低點C時受到的支持力大小為F1=60N，

方向豎直向下。

（2）設物塊B在傳送帶上滑動過程中因受摩擦力所產生的加速度大小為a，則

μmg＝ma

設物塊B通過傳送帶后運動速度大小為v，有v2-v02=-2al

聯立解得v＝4 m/s

由于v>u＝2 m/s，所以v＝4m/s即為物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大小。

設物塊A、B第一次碰撞后的速度分別為v2、v1，取向左為正方向，

由動量守恒定律和能量守恒定律得

mv＝mv1＋Mv2

mv2＝mv12＋Mv22 （（動量守恒、能量守恒）

解得v1＝=-2m/s，v2=2m/s

彈簧具有的最大彈性勢能等于物塊M的初動能

EP=Mv22=12J

（3）碰撞后物塊B沿水平臺面向右勻速運動。

設物塊B在傳送帶上向右運動的最大位移為l′，

由動能定理得：－μmgl′=0－mv12

得l′＝2m<4.5m

所以物塊B不能通過傳送帶運動到右邊的曲面上．當物塊B在傳送帶上向右運動的速度為零后，將會沿傳送帶向左加速運動．可以判斷，物塊B運動到左邊臺面時的速度大小為

v1′＝2m/s，繼而與物塊A發(fā)生第二次碰撞．設第1次碰撞到第2次碰撞之間，物塊B在傳送帶運動的時間為t1。

由動量定理得：μmgt1＝2mv1′

解得

設物塊A、B第一次碰撞后的速度分別為v4、v3，取向左為正方向，由動量守恒定律和能量守恒定律得

mv1′＝mv3＋Mv4

mv1′2＝mv32＋Mv42

解得v3＝=-1m/s

當物塊B在傳送帶上向右運動的速度為零后，將會沿傳送帶向左加速運動．可以判斷，物塊B運動到左邊臺面時的速度大小為v3′＝1m/s，繼而與物塊A發(fā)生第2次碰撞．則第2次碰撞到第3次碰撞之間，物塊B在傳送帶運動的時間為t2。

由動量定理得：μmt2＝2m v3

解得

同上計算可知

物塊B與物塊A第三次碰撞、第四次碰撞……第n次碰撞后物塊B在傳送帶運動的時間為tn=s, 構成無窮等比數列，公比q=

由無窮等比數列求和公式可知，當n→∞時，有

物塊B經第一次與物塊A碰撞后在傳送帶運動的總時間為

t總==8s