Question

如圖所示，磁感應強度為B的條形勻強磁場區(qū)域的寬度都是d₁，相鄰磁場區(qū)域的間距均為d₂，x軸的正上方有一電場強度大小為E，方向與x軸和B均垂直的勻強電場區(qū)域，將質(zhì)量為m、帶正電量為q的粒子（重力忽略不計）從y軸上坐標為h處由靜止釋放．求：
（1）粒子在磁場區(qū)域做勻速圓周運動的軌道半徑．
（2）若粒子經(jīng)磁場區(qū)域I、II后回到x軸，則粒子從開始釋放經(jīng)磁場后第一次回到x軸需要的時間和位置坐標．
（3）若粒子從y軸上坐標為H處以初速度v₀沿x軸正方向水平射出，此后運動中最遠能到達第k個磁場區(qū)域的下邊緣，并再次返回到x軸，求d₁、d₂的值．

Answer 1

分析：（1）、首先利用電場的加速求出粒子進入磁場時的速度，再利用帶電粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)規(guī)律，可求出在磁場中的軌道半徑．
（2）、處理該題，首先要分析清楚粒子的運動過程：粒子是先加速，然后進入磁場區(qū)域Ⅰ，在磁場區(qū)域內(nèi)做圓周運動，然后進入無磁場區(qū)域做勻速直線運動，再進入磁場區(qū)域Ⅱ繼續(xù)做圓周運動，再由磁場區(qū)域Ⅱ依次通過無磁場區(qū)域和磁場區(qū)域Ⅰ到達x軸．分段進行計算．
（3）、粒子在電場中做類平拋運動，利用相關知識可以求出進入磁場時的速度．進入磁場做勻速圓周運動，結合運動半徑公式來分析d₁、d₂的取值范圍．

解答：解：
（1）、設粒子進入磁場時的速度為v，粒子在電場中做加速運動，由功能關系有：
qEh=

1

2

mv2…①
粒子在磁場中做圓周運動，有：
R=

mv

qB

…②
①②兩式聯(lián)立得：
R=

2mEh qB2

（2）、設粒子在電場中的加速時間為t₁，則有：
h=

1

2

Eq

m

t

2 1

，得t1=

2mh Eq

設粒子在磁場中的運動時間為t₂，則t2=

1

2

T，T=

2πm

qB

，則可得：
t2=

πm

qB

設粒子在無磁場區(qū)域的運動時間為t₃，則t3=

2d2

vcosα

，
又因cosα=

R2- d 2 1

R

將v、R代入t3=

2d2

vcosα

，得：
t3=

2md2

2mEqh-B2 q2d 2 1

則運動的時間為：
t=t1+t2+t3=

2mh qE

+

πm

qB

+

2md2

2mEqh-B2 q2d 2 1

設粒子回到x軸的坐標為x，則有：
x=2R+2d₂tanα
解得：x=2

2mEh qB2

+

2d1d2

2mEh qB2 - d 2 1

．
（3）粒子在電場中類平拋，進入磁場時速度v₂，則有：
v2=

v 2 0 +v 2 y

，且有vy=

2EqH m

v₂與水平方向的夾角有：cosβ=

v0

v2

粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)半徑為：R=

mv2

qB

因粒子最遠到達第k個磁場區(qū)域的下邊緣，有：
kd₁=R（1-cosβ）
解得：d1=

m( v 2 0 + 2EqH m -v0 )

kqB

．
粒子在無磁場區(qū)域做勻速直線運動，故d₂可以取任意值．
答：（1）粒子在磁場區(qū)域做勻速圓周運動的軌道半徑為

2mEh qB2

．
（2）粒子從開始釋放經(jīng)磁場后第一次回到x軸需要的時間為

2mh qE

+

πm

qB

+

2md2

2mEqh-B2 q2d 2 1

，位置坐標為2

2mEh qB2

+

2d1d2

2mEh qB2 - d 2 1

．
（3）若粒子從y軸上坐標為H處以初速度v₀沿x軸正方向水平射出，此后運動中最遠能到達第k個磁場區(qū)域的下邊緣，并再次返回到x軸，d₁的值為

m( v 2 0 + 2EqH m -v0 )

kqB

，d₂可以取任意值．

點評：該題是一道綜合性較強的題，主要是考察了帶電粒子在電場中的加速、偏轉(zhuǎn)和在磁場的勻速圓周運動．解決此類問題常用的方法是對過程進行分段，對各個段內(nèi)的運動情況進行具體分析，利用相關的知識進行解答．這要求我們要對帶電粒子在電場和磁場中的運動規(guī)律要了如指掌，尤其是帶電粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)，確定軌跡的圓心是解決此類問題的關鍵．