Question

【題目】如圖所示，光滑絕緣水平面內(nèi)有直角坐標(biāo)系xoy，虛線MN和OD均過O點(diǎn)且都與x軸成60°角。在距x軸為d處平行x軸固定放置一細(xì)桿PQ，桿上套有一可以左右滑動(dòng)的滑塊。勁度系數(shù)為k、原長為 d 的輕細(xì)彈簧垂直于細(xì)桿固定在滑塊上，另一端放置一質(zhì)量為 m的絕緣小球甲，小球甲與彈簧不栓接。同時(shí)在x軸上、沿著彈簧方向放置一質(zhì)量為3m、帶電量為 – q（q > 0）的小球乙。壓縮彈簧將小球甲從OD上某點(diǎn)釋放，此后，甲球與乙球發(fā)生彈性正碰，小球乙隨后進(jìn)入位于MN左側(cè)的有矩形邊界的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向外，矩形的一條邊與MN重合。改變滑塊位置，保證每次小球甲的釋放點(diǎn)都在OD上、且滑塊與兩球在同一條平行于y軸的直線上，并知兩球每次都能發(fā)生彈性正碰，且碰撞后小球乙的帶電量不變，結(jié)果發(fā)現(xiàn)每次小球乙進(jìn)入磁場后再離開磁場時(shí)的位置是同一點(diǎn)。彈簧始終在彈性限度以內(nèi)，彈性勢能的計(jì)算公式是EP =k·ΔL2，ΔL是彈簧的伸長或縮短量，滑塊和小球甲、乙都可視為質(zhì)點(diǎn)。求：

(1)當(dāng)滑塊的橫坐標(biāo)為時(shí)，小球甲與乙碰前的速度大��；

(2)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；

(3)若彈簧的最大壓縮量為d，求矩形磁場區(qū)域的最小面積。

Answer 1

【答案】(1) d；(2)；(3) （2 +）d 2

【解析】

(1)如圖，彈簧的壓縮量ΔL與釋放點(diǎn)橫坐標(biāo)x之間存在關(guān)系式

ΔL =

當(dāng)橫坐標(biāo)為d時(shí)

釋放彈簧后，彈性勢能轉(zhuǎn)化為小球甲的動(dòng)能

k·ΔL02 = mv12

整理得

(2)當(dāng)粒子釋放點(diǎn)坐標(biāo)為x時(shí)，有

小球甲與小球乙發(fā)生彈性正碰過程

整理得

乙在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)

聯(lián)立得

由于 因此當(dāng)x→0時(shí)，r→0時(shí)，可見，小球乙離開磁場的位置為O點(diǎn)，由幾何知識得

r = 2 x

即

整理得

(3)當(dāng)彈簧最大壓縮量為ΔLm =d 時(shí)

最大軌道運(yùn)動(dòng)如圖所示

最小矩形的長為

a = 2 R

矩形的寬為

矩形面積為