Question

(20分)如圖所示，接地的空心導(dǎo)體球殼內(nèi)半徑為R，在空腔內(nèi)一直徑上的P₁和P₂處，放置電量分別為q₁和q₂的點(diǎn)電荷，q₁＝q₂＝q，兩點(diǎn)電荷到球心的距離均為a．由靜電感應(yīng)與靜電屏蔽可知：導(dǎo)體空腔內(nèi)表面將出現(xiàn)感應(yīng)電荷分布，感應(yīng)電荷電量等于－2q．空腔內(nèi)部的電場(chǎng)是由q₁、q₂和兩者在空腔內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的．由于我們尚不知道這些感應(yīng)電荷是怎樣分布的，所以很難用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理直接求得腔內(nèi)的電勢(shì)或場(chǎng)強(qiáng)．但理論上可以證明，感應(yīng)電荷對(duì)腔內(nèi)電場(chǎng)的貢獻(xiàn)，可用假想的位于腔外的（等效）點(diǎn)電荷來代替（在本題中假想(等效)點(diǎn)電荷應(yīng)為兩個(gè)），只要假想的（等效）點(diǎn)電荷的位置和電量能滿足這樣的條件，即：設(shè)想將整個(gè)導(dǎo)體殼去掉，由q₁在原空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷的假想（等效）點(diǎn)電荷與q₁共同產(chǎn)生的電場(chǎng)在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點(diǎn)的電勢(shì)皆為0；由q₂在原空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷的假想（等效）點(diǎn)電荷與q₂共同產(chǎn)生的電場(chǎng)在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點(diǎn)的電勢(shì)皆為0．這樣確定的假想電荷叫做感應(yīng)電荷的等效電荷，而且這樣確定的等效電荷是唯一的．等效電荷取代感應(yīng)電荷后，可用等效電荷、和q₁、q₂來計(jì)算原來導(dǎo)體存在時(shí)空腔內(nèi)部任意點(diǎn)的電勢(shì)或場(chǎng)強(qiáng)．

1．試根據(jù)上述條件，確定假想等效電荷、的位置及電量．

2．求空腔內(nèi)部任意點(diǎn)A的電勢(shì)U_A．已知A點(diǎn)到球心O的距離為r，與的夾角為θ ．

Answer 1

1．解法Ⅰ：

如圖1所示，

S為原空腔內(nèi)表面所在位置，的位置應(yīng)位于的延長(zhǎng)線上的某點(diǎn)B₁處，的位置應(yīng)位于的延長(zhǎng)線上的某點(diǎn)B₂處．設(shè)A₁為S面上的任意一點(diǎn)，根據(jù)題意有

                  (1)

     (2)

怎樣才能使 (1) 式成立呢？下面分析圖1中與的關(guān)系．

若等效電荷的位置B₁使下式成立，即

                          (3)

即                         (4)

則                 

有                        (5) 

由 (1)式和 (5)式便可求得等效電荷        

               (6)

由 (3) 式知，等效電荷的位置B₁到原球殼中心位置O的距離

                                  (7) 

同理，B₂的位置應(yīng)使，用類似的方法可求得等效電荷

                (8) 

等效電荷的位置B₂到原球殼中心O位置的距離

                                  (9) 

解法Ⅱ：

在圖1中，設(shè)，，．根據(jù)題意，和兩者在A₁點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)和為零．有

                                                               （1＇）

式中

                                                     （2＇）

                                    （3＇）

由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得

                              （4＇）

（4＇）式是以為變量的一次多項(xiàng)式，要使（4＇）式對(duì)任意均成立，等號(hào)兩邊的相應(yīng)系數(shù)應(yīng)相等，即

                                   （5＇）

                                              （6＇）

由（5＇）、（6＇）式得

                                    （7＇）

解得                  （8＇）

由于等效電荷位于空腔外部，由（8＇）式求得

                                               （9＇）

由（6＇）、（9＇）式有

                 （10＇）

考慮到（1＇）式，有

                                             （11＇）

同理可求得

                                                               （12＇）

                                 （13＇）        

2．A點(diǎn)的位置如圖2所示．

A的電勢(shì)由q₁、、q₂、共同產(chǎn)生，即

               (10) 

                                          

因

             

    

代入 (10) 式得

                   

                (11)

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：

本題20分．第1問18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分．解法Ⅱ的評(píng)分可參考解法Ⅰ．

第2問2分，即(11)式2分．