Question

（2011?無為縣模擬）如圖所示，在豎直方向上A、B兩物體通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，A放在水平地面上；B、C兩物體通過細(xì)繩繞過輕質(zhì)定滑輪相連，C放在固定的光滑斜面上．用手拿住C，使細(xì)線剛剛拉直但無拉力作用，并保證ab段的細(xì)線豎直、cd段的細(xì)線與斜面平行．已知A、B的質(zhì)量均為m，C的質(zhì)量為4m，重力加速度為g，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．釋放C后它沿斜面下滑，A剛離開地面時，B獲得最大速度，求：
（1）從釋放C到物體A剛離開地面時，物體C沿斜面下滑的距離．
（2）斜面傾角α．
（3）B的最大速度v_Bm．

Answer 1

分析：（1）A剛離開地面時，物體C沿斜面下滑的距離應(yīng)該等于彈簧原來被壓縮的長度再加上后來彈簧被拉長的長度，被壓縮和被拉長的長度可以根據(jù)胡克定律求得；
（2）B獲得最大速度時，B應(yīng)該處于受力平衡狀態(tài)，對B受力分析，可以求得斜面的傾角α；
（3）對于整個系統(tǒng)機械能守恒，根據(jù)機械能守恒列出方程就可以求得B的最大速度．

解答：解：（1）設(shè)開始時彈簧的壓縮量x_B，則
  kx_B=mg    ①
設(shè)當(dāng)物體A剛剛離開地面時，彈簧的伸長量為x_A，則
   kx_A=mg  ②
當(dāng)物體A剛離開地面時，物體B上升的距離以及物體C沿斜面下滑的距離均為
   h=x_A+x_B     ③
由①②③式解得
  h=

2mg

k

   ④
（2）物體A剛剛離開地面時，以B為研究對象，物體B受到重力mg、彈簧的彈力kx_A、細(xì)線的拉力T三個力的作用，
設(shè)物體B的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律，
對B有
  T-mg-kx_A=ma   ⑤
對C有
  4mgsinα-T=4ma  ⑥
由⑤、⑥兩式得
  4mgsinα-mg-kx_A=5ma  ⑦
當(dāng)B獲得最大速度時，有 a=0   ⑧
由②⑦⑧式聯(lián)立，解得  sinα=

1

2

   ⑨
所以：α=30°
（3）由于x_A=x_B，彈簧處于壓縮狀態(tài)和伸長狀態(tài)時的彈性勢能相等，且物體A剛剛離開地面時，B、C兩物體的速度相等，
設(shè)為v_Bm，以B、C及彈簧組成的系統(tǒng)為研究對象，
由機械能守恒定律得：4mghsinα-mgh=

1

2

（4m+m） V_Bm²    ⑩
由④、⑨、⑩式，解得：V_Bm²=

2(4sinα-1)gh 5

=2g

m 5k

答：（1）從釋放C到物體A剛離開地面時，物體C沿斜面下滑的距離是

2mg

k

．
（2）斜面傾角α是30°．
（3）B的最大速度v_Bm是=2g

m 5k

．

點評：對于機械能守恒定律，有多個表達(dá)式，可以用初態(tài)的機械能等于末態(tài)的機械能，也可以用動能的增加等于勢能的減少，對于第一種表達(dá)式要選取零勢能面，第二種由于用的它們的差值的大小，所以不用取零勢能面，在解題時要注意公式的選擇．