Question

（2012?楊浦區(qū)一模）如圖所示，一根長為三的細剛性輕桿的兩端分別連結小球a和b，它們的質量分別為m_a和m_b，桿可繞距a球為L/4處的水平定軸D在豎直平面內轉動，初始時桿處于豎直位置，小球b幾乎接觸桌面，在桿的右邊水平桌面上，緊挨著細桿放著一個質量為m的立方體勻質物塊，圖中ABCD為過立方體中心且與細桿共面的截面．現(xiàn)用一水平恒力F作用于a球上，使之繞O軸逆時針轉動，設在此過程中立方體物塊沒有發(fā)生轉動，且小球b立方體物塊始終接觸沒有分離．不計一切摩擦，求：
（1）在細桿轉動過程中a、b兩小球速度大小的關系．
（2）當細桿轉過口角時小球6速度大小與立方體物塊速度大小的關系．
（3）若m_a=3m_b=m，當細桿轉過30°角時小球b速度的大小．

Answer 1

分析：（1）（2）由v=ωR可得出兩球速度關系，再由運動的分解，找出球b與立方體的速度關系．
（3）由題意可知，在恒力的作用下，球a、b及立方體從靜止到運動，由于球b與立方體間無摩擦力，所以它們的機械能增量均由恒力做功導致，故由功能關系列式，并結合共軸下球a、b角速度相同，從而列式求解．

解答：解：
（1）由b球與正立方體的接觸是光滑的，相互作用力總是沿水平方向，而且兩者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符號相反，做功的總和為0．因此在整個過程中推力F所做的功應等于球a、b和正立方體機械能的增量．現(xiàn)用v_a表示此a球速度的大小，因a、b角速度相同，oa=

1

4

l，ob=

3

4

l，
所以得  v_a=

1

3

vb… ①
（2）如圖所示，v_b表示a球轉α角b球瞬時速度的大小，v表示此時立方體速度的大小，
則有v_bcosα=v…②
（3）根據功能原理可知
F?

1

4

sinα=

1

2

ma

v

2 a

-m_ag（

1

4

-

1

4

cosα）+

1

2

mb

v

2 b

+m_bg（

3

4

l-

3

4

lcosα）+

1

2

mv²…③
將①、②式及條件m_a=3m_b=m代入③可得
F?

1

4

lsinα=

1

2

ma(

1

3

vb)2-m_ag?

1

4

l（1-cosα）+

1

2

mb

v

2 b

+m_bg?

3

4

（1-cosα）+

1

2

m（v_bcosα）²
解得：v_b=3

Fl 43m

答：
（1）在細桿轉動過程中a、b兩小球速度大小的關系為 v_a=

1

3

vb．
（2）當細桿轉過口角時小球6速度大小與立方體物塊速度大小的關系為v_bcosα=v．
（3）若m_a=3m_b=m，當細桿轉過30°角時小球b速度的大�。�當a轉過α角時，小球b速度的大小為3

Fl 43m

．

點評：本題考查在共軸下，速度與半徑成正比，同時運用速度的分解，求出立方體的速度．關鍵在于球b與立方體無摩擦力，使得恒力做功導致兩球與立方體的動能增加，這是題目的突破口．讓學生掌握功能關系并能理解．