Question

15．如圖甲所示，質量M=3kg足夠長的小車靜止在水平面上，半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓軌道的下端與小車的右端平滑對接，質量m=1kg的物塊（可視為質點）由軌道頂端靜止釋放，接著物塊離開圓軌道滑上小車．從物塊滑上小車開始計時，物塊運動的速度隨時間變化如圖乙所示．己知小車與水平面間的摩擦因數μ₀=0.01，重力加速度10m/s²，求：

（1）物塊經過圓軌道最低點時對軌道的壓力F大��；
（2）直到物塊與小車相對靜止的過程中因摩擦共產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出物塊到達圓軌道半徑，根據牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出對軌道壓力F的大小．
（2）根據牛頓第二定律分別求出物塊和小車的加速度，當兩者速度相等時，保持相對靜止，結合運動學公式求出相對靜止所需的時間．小車先做勻加速直線運動，當與滑塊速度相等后做勻速直線運動，結合運動學公式求出小車運動2s時，小車右端距軌道B端的距離．根據運動學公式求出物塊和小車的相對位移，根據Q=f△s求出產生的熱量Q．

解答 解：（1）根據機械能守恒定律可得  $mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得 R=0.8m
根據牛頓運動定律得物塊對軌道的壓力大小為  $F-mg=m\frac{v^2}{R}$
解得   F=30N
（2）物塊滑上小車后，由圖象可知物塊的加速度大小為  ${a_1}=1m/{s^2}$
  物塊與小車間的摩擦力的大小為 f₁=ma₁=1N
設小車的加速度為a₂，則 f₁-μ₀（M+m）g=Ma₂
解得   ${a_2}=0.2m/{s^2}$
當它們達到相同的速度時，有 v=v₀-a₁tv=a₂t
解得  $t=\frac{10}{3}s$
這一過程中，物塊的位移為  ${x_1}={v_0}t-\frac{1}{2}{a_1}{t^2}=\frac{70}{9}m$
小車的位移為    ${x_2}=\frac{1}{2}{a_2}{t^2}=\frac{10}{9}m$
物塊與小車因摩擦產生的熱量為  ${Q_1}={f_1}（{x_1}-{x_2}）=\frac{20}{3}J$
小車與地面摩擦產生的熱量為 ${Q_2}={μ_0}（M+m）g{x_2}=\frac{4}{9}J$
所以共產生的熱量為 $Q={Q_1}+{Q_2}=\frac{64}{9}J$
答：
（1）物塊經過圓軌道最低點時對軌道的壓力F大小是30N；
（2）直到物塊與小車相對靜止的過程中因摩擦共產生的熱量Q是$\frac{64}{9}$J．

點評 此題的關鍵理清物塊和小車的運動規(guī)律，運用機械能守恒、功能關系、牛頓第二定律和運動學公式求解．知道摩擦生熱與相對路程有關．