Question

14．如圖，足夠長(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放置，間距為L(zhǎng)，與水平面成θ角，導(dǎo)軌與定值電阻R₁和R₂相連，且R₁=R₂=R，R₁支路串聯(lián)開關(guān)S，原來S閉合．勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面向上，有一質(zhì)量為m、有效電阻也為R的導(dǎo)體棒ab與導(dǎo)軌垂直放置，它與導(dǎo)軌始終接觸良好，受到的摩擦力為F_f=$\frac{1}{4}$mgsinθ，現(xiàn)將導(dǎo)體棒ab從靜止釋放，沿導(dǎo)軌下滑，當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)速率為v，已知重力加速度為g，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小
（2）如果導(dǎo)體棒ab從靜止釋放沿導(dǎo)軌下滑x距離后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，這一過程回路中產(chǎn)生的電熱是多少？
（3）導(dǎo)體棒ab達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，斷開開關(guān)S，將做怎樣的運(yùn)動(dòng)？若從這時(shí)開始導(dǎo)體棒ab下滑一段距離后，通過導(dǎo)體棒ab橫截面的電荷量為q，求這段距離是多少？

Answer 1

分析 （1）由導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)速度得到電動(dòng)勢(shì)，再根據(jù)電路得到通過導(dǎo)體棒的電流及導(dǎo)體棒所受安培力的表達(dá)式；由導(dǎo)體棒平衡狀態(tài)求得安培力，進(jìn)而聯(lián)立兩式求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）對(duì)整個(gè)系統(tǒng)應(yīng)用能量守恒即可求得發(fā)熱量；
（3）分析斷開電路后導(dǎo)體棒中的電流變化，進(jìn)而得到安培力的變化，從而得到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；求得任意時(shí)刻導(dǎo)體棒的電流表達(dá)式，然后得到任一極短時(shí)間的電量表達(dá)式，將其累加即可求解．

解答 解：（1）當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)速率為v，此時(shí)導(dǎo)體棒必受力平衡，且導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E=BLv，則導(dǎo)體棒中的電流$I=\frac{E}{R+\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}}=\frac{E}{\frac{3}{2}R}=\frac{2BLv}{3R}$，
所以，導(dǎo)體棒受到的安培力${F}_{安}=BIL=\frac{{2B}^{2}{L}^{2}v}{3R}$；
由受力平衡可得：$mgsinθ={F}_{f}+{F}_{安}=\frac{1}{4}mgsinθ+\frac{2{B}^{2}{L}^{2}v}{3R}$；
所以，$B=\sqrt{\frac{9mgRsinθ}{8{L}^{2}v}}$=$\frac{3}{2L}\sqrt{\frac{mgRsinθ}{2v}}$；
（2）對(duì)整個(gè)系統(tǒng)應(yīng)用能量守恒，則導(dǎo)體棒ab從靜止釋放沿導(dǎo)軌下滑x距離后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，這一過程回路中產(chǎn)生的電熱等于導(dǎo)體棒機(jī)械能的減少量減去摩擦力做的功，即$Q=mgxsinθ-\frac{1}{2}m{v}^{2}-{F}_{f}•x$=$\frac{3}{4}mgxsinθ-\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
（3）斷開開關(guān)S，閉合電路的電阻增大，電流減小，導(dǎo)體棒受到的安培力減小，導(dǎo)體棒的合外力沿斜面向下，所以，導(dǎo)體棒做加速運(yùn)動(dòng)；導(dǎo)體棒加速運(yùn)動(dòng)，則速度增大，安培力增大，合外力減小，加速度減小直至為零；所以，導(dǎo)體棒先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，最后做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
任意時(shí)刻，當(dāng)速度為v′時(shí)，導(dǎo)體棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E′=BLv′，通過導(dǎo)體棒的電流$I′=\frac{E′}{2R}=\frac{BLv′}{2R}$；
在一極短時(shí)間內(nèi)，通過導(dǎo)體棒的電量$△q=I′△t=\frac{BL}{2R}v′△t=\frac{BL}{2R}△s$（△s為導(dǎo)體棒在△t時(shí)間內(nèi)的下滑距離），
所以，若從斷開開關(guān)開始導(dǎo)體棒ab下滑一段距離后，通過導(dǎo)體棒ab橫截面的電荷量為q，則這段距離$s=\frac{2qR}{BL}$=$\frac{2qR}{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{mgRsinθ}{2v}}}$=$\frac{4q}{2}\sqrt{\frac{2Rv}{mgsinθ}}$；
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{3}{2L}\sqrt{\frac{mgRsinθ}{2v}}$；
（2）如果導(dǎo)體棒ab從靜止釋放沿導(dǎo)軌下滑x距離后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，這一過程回路中產(chǎn)生的電熱是$\frac{3}{4}mgxsinθ-\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
（3）導(dǎo)體棒ab達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，斷開開關(guān)S，導(dǎo)體棒先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，最后做勻速直線運(yùn)動(dòng)；若從這時(shí)開始導(dǎo)體棒ab下滑一段距離后，通過導(dǎo)體棒ab橫截面的電荷量為q，則這段距離是$\frac{4q}{2}\sqrt{\frac{2Rv}{mgsinθ}}$．

點(diǎn)評(píng) 在閉合電路中導(dǎo)體棒切割磁感線問題，一般由導(dǎo)體棒速度求得電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而根據(jù)電路求得通過導(dǎo)體棒的電流，得到安培力；對(duì)導(dǎo)體棒進(jìn)行受力分析，應(yīng)用牛頓第二定律及動(dòng)能定理、能量守恒等求解問題．