Question

11．如圖所示，質(zhì)量為m的小物塊從一半徑為R=$\frac{1}{4}$L的四分之一光滑圓弧軌道頂點(diǎn)A下滑，滑到圓弧最低點(diǎn)B后，滑上長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平桌面，水平桌面上沿運(yùn)動(dòng)方向粘貼了一段長(zhǎng)度未知的粗糙紙面，桌面其它部分光滑，小物塊與粗糙紙面的動(dòng)摩擦系數(shù)為μ=0.25．小物體滑出后做平拋運(yùn)動(dòng)，桌面離地高度h以及水平飛行距離s均為$\frac{L}{2}$（重力加速度為g）求：

（1）在圓弧最低點(diǎn)B物塊對(duì)軌道的壓力；
（2）未知粗糙紙面的長(zhǎng)度x為多少？若粗糙紙面放在BC的中間位置則小物塊從進(jìn)入桌面到落地經(jīng)歷總時(shí)間是多少？
（3）粗糙紙面放在何處，滑塊從B端滑過桌面用時(shí)最短，該時(shí)間為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出物塊到達(dá)最低點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對(duì)軌道的壓力大小．
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出物塊離開水平面的速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出未知粗糙紙面的長(zhǎng)度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別求出滑塊在粗糙紙面左端和右端的時(shí)間，結(jié)合在粗糙紙面上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求出總時(shí)間．
（3）粗糙紙面右端與水平面邊緣對(duì)齊時(shí)，滑塊從B端滑過桌面用時(shí)最短，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出最短的時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得，$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，解得${v}_{B}=\sqrt{2gR}$，
在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得，N-mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，解得N=3mg．
則物塊對(duì)軌道的壓力為3mg．
（2）根據(jù)$h=\frac{L}{2}=\frac{1}{2}gt{′}^{2}$得，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t′=$\sqrt{\frac{L}{g}}$，
則平拋運(yùn)動(dòng)的初速度${v}_{C}=\frac{\frac{L}{2}}{t}$=$\frac{1}{2}\sqrt{gL}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得，$-μmgx=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得x=$\frac{1}{2}L$．
根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度推論知，在粗糙紙面上有：$\frac{L}{2}=\frac{{v}_{B}+{v}_{C}}{2}{t}_{2}$，解得t₂=$2（\sqrt{2}-1）\sqrt{\frac{L}{g}}$，
在水平面上勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t=\frac{\frac{L}{4}}{{v}_{B}}+\frac{\frac{L}{4}}{{v}_{C}}$=$（\frac{2+\sqrt{2}}{4}）\sqrt{\frac{L}{g}}$，
則小物塊從進(jìn)入桌面到落地經(jīng)歷總時(shí)間t_總=t+t₂+t′=$\frac{9\sqrt{2}-2}{4}\sqrt{\frac{L}{g}}$．
（3）粗糙紙面右端與水平面邊緣對(duì)齊時(shí)，滑塊從B端滑過桌面用時(shí)最短，
最短時(shí)間${t}_{min}=\frac{\frac{L}{2}}{{v}_{B}}+{t}_{2}$=$\frac{5\sqrt{2}-4}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$．
答：（1）在圓弧最低點(diǎn)B物塊對(duì)軌道的壓力為3mg；
（2）未知粗糙紙面的長(zhǎng)度x為$\frac{1}{2}L$，小物塊從進(jìn)入桌面到落地經(jīng)歷總時(shí)間是$\frac{9\sqrt{2}-2}{4}\sqrt{\frac{L}{g}}$；
（3）粗糙紙面右端與水平面邊緣對(duì)齊時(shí)，滑塊從B端滑過桌面用時(shí)最短，最短時(shí)間為$\frac{5\sqrt{2}-4}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵理清滑塊在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解，本題涉及到圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源和平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．