Question

如圖甲所示，水平放置的兩平行金屬板間距離為d，板長為l，OO′為兩金屬板的中線．在金屬板的右側(cè)有一豎直寬度足夠大的勻強(qiáng)磁場，其左右邊界均與OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直紙面向里．兩金屬板間的電壓u隨時(shí)間t變化的圖象如圖乙所示．現(xiàn)有質(zhì)子連續(xù)不斷地以速度v₀沿兩金屬板的中線射入電場中，每個(gè)質(zhì)子在電場區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為兩金屬板間的電場強(qiáng)度不變，已知質(zhì)子的質(zhì)量為m、電荷量為e．
（1）若在t=0時(shí)射入的質(zhì)子能從磁場左邊界飛出，試求質(zhì)子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁；
（2）若射入的質(zhì)子都能飛出電場，試求兩金屬板間所加電壓的最大值U_m；
（3）在（2）的情況下，為使由電場飛出的質(zhì)子均不能從磁場右邊界飛出，則勻強(qiáng)磁場的水平寬度s應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)質(zhì)子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期公式，即可求解；
（2）質(zhì)子做類平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解成速度方向與電場力的方向，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（3）根據(jù)速度的分解，與幾何關(guān)系可求出θ，再由三角函數(shù)，即可求出結(jié)果．

解答：解
（1）t=0時(shí)場強(qiáng)為0，質(zhì)子在在極板間不偏轉(zhuǎn)．
質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

Be

質(zhì)子在磁場中運(yùn)動(dòng)了半個(gè)周期，所以t₁=

πm

Be

（2）質(zhì)子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，則有
y═

d

2

=

1

2

at2=

1

2

Ume

md

(

l

v0

)2
解得：Um=

md2 v 2 0

el2

（3）
根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解，則有速度關(guān)系，v=

v0

cosθ

因運(yùn)動(dòng)半徑公式，r=

mv

Be

=

mv0

Becosθ

又幾何關(guān)系，s₀=r+rsinθ
質(zhì)子就好像從O O′飛出電場一樣
則tanθ=

d 2

l 2

=

d

l

所以s₀=

mv0(d+ l2+d2 )

eBl

則應(yīng)滿足的條件為s=

mv0(d+ l2+d2 )

eBl

答：（1）若在t=0時(shí)射入的質(zhì)子能從磁場左邊界飛出，則質(zhì)子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁=

πm

Be

；
（2）若射入的質(zhì)子都能飛出電場，則兩金屬板間所加電壓的最大值：Um=

md2 v 2 0

el2

；
（3）在（2）的情況下，為使由電場飛出的質(zhì)子均不能從磁場右邊界飛出，則勻強(qiáng)磁場的水平寬度應(yīng)滿足s=

mv0(d+ l2+d2 )

eBl

條件．

點(diǎn)評(píng)：質(zhì)子在電場中作類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，學(xué)會(huì)畫出運(yùn)動(dòng)軌跡的圖，理解幾何關(guān)系在其中的應(yīng)用．