Question

2．我國(guó)于2007年和2010年分別將“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”成功發(fā)射，“嫦娥三號(hào)”亦在2013年落月探測(cè)90天，并已給落月點(diǎn)起了一個(gè)富有詩(shī)意的名字--“廣寒宮”．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)．已知月球半徑為R_月，引力常量為G，請(qǐng)求出月球的質(zhì)量m_月．

Answer 1

分析 （1）在月球表面重力與萬(wàn)有引力相等，月球繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力據(jù)此計(jì)算月球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)軌道求出月球表面重力加速度，再根據(jù)重力與萬(wàn)有引力相等求得月球質(zhì)量．

解答 解：（1）在地球表面有重力與萬(wàn)有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$…①
月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)有萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…②
由①②解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為g_月  
對(duì)豎直上拋小球有：g_月=$\frac{2{v}_{0}}{t}$…③
在月球表面有：$G\frac{{M}_{月}}{{r}_{月}^{2}}={g}_{月}$…④
由③④解得：M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$
答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的半徑r為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）月球的質(zhì)量為$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式只能求出中心體的質(zhì)量．另外一個(gè)思路是重力等于萬(wàn)有引力，得到GM=gR²，常常稱(chēng)為黃金代換式．