Question

4．如圖甲所示，兩根足夠長的直金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放置，與水平面夾角為θ，兩導(dǎo)軌間距為L₀，M、P 兩點間接有阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直．整套裝置處于磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向下．導(dǎo)軌和金屬桿的電阻可忽略．讓ab桿沿導(dǎo)軌由靜止開始下滑，導(dǎo)軌和金屬桿接觸良好，不計它們之間的摩擦．

（1）由b向a方向看到的裝置如圖乙，在此圖中畫出ab桿下滑過程中某時刻的受力示意圖；
（2）在加速下滑時，當(dāng)ab桿的速度大小為v時，求此時ab桿中的電流及其加速度的大��；
（3）求在下滑過程中，ab桿可以達到的速度最大值．
（4）若現(xiàn)在用沿導(dǎo)軌平面垂直于桿的恒力F將金屬桿從底端無初速推過足夠距離S到達某一位置，立即撤去此恒力．問金屬桿從開始上推到滑回底端的全過程中，在回路里產(chǎn)生的焦耳熱是多少？

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒受重力、支持力、安培力作用，根據(jù)受力作出受力示意圖．
（2）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、歐姆定律得出感應(yīng)電流的大小，結(jié)合安培力公式得出安培力的大小，根據(jù)牛頓第二定律求出速度為v時的加速度．
（3）當(dāng)導(dǎo)體棒加速度為零時，速度最大，結(jié)合安培力公式，運用共點力平衡求出最大速度．
（4）根據(jù)能量守恒求出回路中產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）ab桿的受力分析圖如圖所示．
（2）ab桿切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BL₀v，則ab桿中的電流為：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{B{L}_{0}v}{R}$，
根據(jù)牛頓第二定律得，ab桿的加速度為：a=$\frac{mgsinθ-BI{L}_{0}}{m}$=$gsinθ-\frac{{B}^{2}{{L}_{0}}^{2}v}{mR}$．
（3）當(dāng)加速度為零時，速度最大，有：mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{{L}_{0}}^{2}{v}_{m}}{R}$，
解得最大速度為：v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{{L}_{0}}^{2}}$．
（4）由題意知，推過足夠距離S到達某一位置，滑回底端前已經(jīng)做勻速運動，
根據(jù)能量守恒得：$FS=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}+Q$，
解得：Q=$FS-\frac{{m}^{3}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{{L}_{0}}^{4}}$．
答：（1）受力如圖所示．
（2）此時ab桿中的電流為$\frac{B{L}_{0}v}{R}$，其加速度的大小為$gsinθ-\frac{{B}^{2}{{L}_{0}}^{2}v}{mR}$．
（3）在下滑過程中，ab桿可以達到的速度最大值為$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{{L}_{0}}^{2}}$．
（4）在回路里產(chǎn)生的焦耳熱是$FS-\frac{{m}^{3}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{{L}_{0}}^{4}}$．

點評 本題考查了電磁感應(yīng)和力學(xué)和能量的綜合運用，掌握切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、安培力的表達式、閉合電路歐姆定律是解決本題的關(guān)鍵．