Question

1．磁懸浮鐵路系統(tǒng)是一種新型的交通運輸系統(tǒng)，它是利用電磁系統(tǒng)產(chǎn)生的吸引力或排斥力將車輛托起，使整個列車懸浮在導軌上，同時利用電磁力進行驅(qū)動．采用直線電機模式獲得驅(qū)動力的列車可簡化為如下情景：固定在列車下端的矩形金屬框隨車平移；軌道區(qū)域內(nèi)存在垂直于金屬框平面的磁場，磁感應(yīng)強度沿Ox方向按正弦規(guī)律分布，最大值為B₀，其空間變化周期為2d，整個磁場以速度v₁沿Ox方向向前高速平移，由于列車沿Ox方向勻速行駛速度v₂與磁場平移速度不同，而且v₁＞v₂，列車相對磁場以v_1-v₂的速度向后移動切割磁感線，金屬框中會產(chǎn)生感應(yīng)電流，該電流受到的向前安培力即為列車向前行駛的驅(qū)動力．設(shè)金屬框電阻為R，長PQ=L，寬NP=d，求：

（1）如圖為列車勻速行駛時的某一時刻，MN、PQ均處于磁感應(yīng)強度最大值處，此時金屬框內(nèi)感應(yīng)電流的大小和方向；
（2）列車勻速行駛S（S遠大于d）距離的過程中，矩形金屬線框產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）列車勻速行駛時所獲得的最大驅(qū)動力的大小，并寫出驅(qū)動力功率隨時間變化的瞬時表達式（以（1）問時刻為計時起點）．

Answer 1

分析 （1）由題v₁＞v₂，線框中MN、PQ都切割磁感線，相對于磁場向左運動，從而產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流方向由右手定則判斷．線框相對于磁場速度大小為v₁-v₂，MN、PQ都產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，可公式求出感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流．
（2）列車勻速行駛過程中，線框中產(chǎn)生正弦式交變電流，根據(jù)有效值求出金屬線框產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）當MN、PQ應(yīng)位于磁場中磁感應(yīng)強度同為最大值且方向相反處時，線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢最大，感應(yīng)電流最大，金屬框左右兩邊所受安培力最大，列車獲得的驅(qū)動力最大，根據(jù)電磁感應(yīng)知識求出最大驅(qū)動力表達式和其功率表達式．

解答 解：（1）磁場沿Ox方向運動，v₁＞v₂，等效金屬框相對磁場向-x方向運動．
由于此時刻MN、PQ邊所在處的磁感就強度大小均為B₀且方向相反，
金屬框產(chǎn)生的電動勢：E=2B₀L（v₁-v₂），
感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{2{B}_{0}L（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$；
由右手定則可知，電流方向為：N→M→Q→P→N；
（2）設(shè)經(jīng)過時間t，金屬框MN，PQ所在處磁場強度大小均為B，
磁感應(yīng)強度：B=B₀cosωt，
角速度：ω=$\frac{2π}{T}$，周期：T=$\frac{2d}{{v}_{1}-{v}_{2}}$，
整理得：ω=$\frac{π（{v}_{1}-{v}_{2}）}ufspxz7$，
電流：i=$\frac{E}{R}$=$\frac{2BL（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$=$\frac{2{B}_{0}L（{v}_{1}-{v}_{2}）cosωt}{R}$，
電流瞬時值的表達式是：$i=\frac{{2{B_0}L}}{R}（{v_1}-{v_2}）cos\frac{{π（{v_1}-{v_2}）}}6pvogjwt$，
該電流是正弦交流電流，其交流電最大值為：${I_m}=\frac{{2{B_0}L（{v_1}-{v_2}）}}{R}$，
其交流電有效值為：I=$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}$，
時間：t=$\frac{S}{{v}_{2}}$，
矩形金屬線框產(chǎn)生的焦耳熱：Q=I²Rt，
解得：$Q=\frac{{2B_0^2{L^2}S{{（{v_1}-{v_2}）}^2}}}{{R{v_2}}}$；
（3）為使列車得最大驅(qū)動力，MN、PQ應(yīng)位于磁場中磁感應(yīng)強度同為最大值且反向處，
這會使得金屬框所圍面積的磁通量變化率最大，導致框中電流最強，
也會使得金屬框長邊中電流受到的安培力最大．
根據(jù)安培力公式，MN邊所受的安培力：F_MN=B₀IL，
PQ邊所受的安培力：F_PQ=B₀IL，
根據(jù)左手定則，MN、PQ邊所受的安培力同向，
此時列車驅(qū)動力的大小F：F=F_MN+F_PQ=2B₀IL，
解得：$F=\frac{{4B_0^2{L^2}（{v_1}-{v_2}）}}{R}$，
驅(qū)動力瞬時值表達式是：${F_t}=2BLi=\frac{{4B_0^2{L^2}（{v_1}-{v_2}）}}{R}{cos^2}\frac{{π（{v_1}-{v_2}）}}mjliwuqt$，
驅(qū)動力功率的瞬時值：P=F_tv₂，
解得：$P=\frac{{2B_0^2{L^2}{v_2}（{v_1}-{v_2}）}}{R}[{1+cos\frac{{2π（{v_1}-{v_2}）}}kgjmdwst}]$；
答：（1）此時金屬框內(nèi)感應(yīng)電流的大小為：$\frac{2{B}_{0}L（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$，方向：N→M→Q→P→N；
（2）矩形金屬線框產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{2{B}_{0}^{2}{L}^{2}S（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{R{v}_{2}}$；
（3）列車勻速行駛時所獲得的最大驅(qū)動力的大小為：$\frac{4{B}_{0}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$，驅(qū)動力功率隨時間變化的瞬時表達式為：$P=\frac{{2B_0^2{L^2}{v_2}（{v_1}-{v_2}）}}{R}[{1+cos\frac{{2π（{v_1}-{v_2}）}}q5o6mitt}]$．

點評 本題是電磁學知識在科學技術(shù)中的應(yīng)用，是復(fù)雜的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，是高考命題常有的題型．通過本題的研究可以培養(yǎng)分析問題和解決實際問題的能力．