Question

8．如圖所示，一根長(zhǎng)為l的細(xì)繩懸掛在離地面高為H的天花板上的O點(diǎn)，繩的下端系有一質(zhì)量為m的小球，小球被拉到A點(diǎn)時(shí)繩與豎直方向的夾角為θ，將小球從A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)繩子突然斷裂，小球落到地面上的C點(diǎn)，圖中O′點(diǎn)為O點(diǎn)在水平地面上的投影點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，也不計(jì)繩子斷裂時(shí)機(jī)械能的損失，已知重力加速度g，則：
（1）以地面為參考平面，小球在A點(diǎn)時(shí)的重力勢(shì)能為多少？
（2）擺動(dòng)中經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)繩子斷裂前的瞬間繩中張力為多少？
（3）若繩子長(zhǎng)度可調(diào)節(jié)，當(dāng)繩長(zhǎng)l滿足什么條件時(shí)，C點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離最大？

Answer 1

分析 （1）重力勢(shì)能等于物體的重力與相對(duì)于零勢(shì)能面高度的乘積；
（2）小球向下擺動(dòng)的過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出列式求出小球擺動(dòng)中經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓第二定律求解繩中張力．
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到C點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離與l的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：（1）以地面為零勢(shì)能面，則小球在A點(diǎn)時(shí)相對(duì)于零勢(shì)能面的高度為：
 h=H-lcosθ；
則重力勢(shì)能為：E_P=mgh=mg（H-lcosθ）；
（2）由機(jī)械能守恒定律可得：
  mgl（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²；
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得
  F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得 F=3mg-2mgcosθ
（3）繩子斷裂后，小球豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，則
  H-l=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平位移 x=vt
解得 x=2$\sqrt{l（l-H）（1-cosθ）}$
由數(shù)學(xué)知識(shí)得知：當(dāng)l=$\frac{H}{2}$時(shí)，C點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離最大．
答：
（1）以地面為參考平面，小球在A點(diǎn)時(shí)的重力勢(shì)能為mg（H-lcosθ）．
（2）擺動(dòng)中經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)繩子斷裂前的瞬間繩中張力為3mg-2mgcosθ．
（3）若繩子長(zhǎng)度可調(diào)節(jié)，當(dāng)繩長(zhǎng)l滿足l=$\frac{H}{2}$的條件時(shí)，C點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒定律、向心力公式和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用，根據(jù)物理規(guī)律得到平拋運(yùn)動(dòng)的射程與繩長(zhǎng)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值問(wèn)題，是應(yīng)具備的能力．