Question

13．某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為S，比賽時，某同學將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速運動，當速度達到v₀時，再以v₀做勻速直線運動跑至終點．整個過程中球一直保持在球拍中心不動．比賽中，該同學在勻速直線運動階段保持球拍的傾角為θ₀，如圖所示．設球在運動過程中受到的空氣阻力與其速度大小成正比，方向與運動方向相反，不計球與球拍之間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g．則：
（1）空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k為$\frac{mgtan{θ}_{0}}{{v}_{0}}$．
（2）整個勻速跑階段，若該同學速率仍為v₀，而球拍的傾角比θ₀大了β并保持不變，不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力的變化，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應滿足的條件sinβ≤$\frac{2rcos{θ}_{0}}{g{（\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}）}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）在勻速運動階段，受力平衡，根據(jù)平衡條件列式即可求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出球沿球拍面下滑的加速度，當球運動的位移小于等于r時，球不從球拍上掉落，根據(jù)運動學基本公式列式即可求解．

解答 解：（1）在勻速運動階段，有mgtanθ₀=kv₀
得k=$\frac{mgtan{θ}_{0}}{{v}_{0}}$；
（3）以速度v₀勻速運動時，設空氣阻力與重力的合力為F，
有F=$\frac{mg}{cos{θ}_{0}}$，
球拍傾角為θ₀+β時，空氣阻力與重力的合力不變，設球沿球拍面下滑的加速度大小為a′，
有：Fsinβ=ma′
設勻速跑階段所用時間為t，有t=$\frac{s}{{v}_{0}}$-$\frac{{v}_{0}}{2a}$，
球不從球拍上掉落的條件$\frac{1}{2}$a′t²≤r
得sinβ≤$\frac{2rcos{θ}_{0}}{g{（\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}）}^{2}}$．
故答案為：$\frac{mgtan{θ}_{0}}{{v}_{0}}$；sinβ≤$\frac{2rcos{θ}_{0}}{g{（\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}）}^{2}}$．

點評 對于牛頓第二定律的綜合應用問題，關鍵是弄清楚物體的運動過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運動學的計算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學和運動學的橋梁．