Question

一宇航員抵達(dá)一半徑為R的星球兩極的表面后，為了測(cè)定該星球的質(zhì)量M，做如下的實(shí)驗(yàn)，取一根細(xì)線穿過光滑的細(xì)直管，細(xì)線一端栓一質(zhì)量為m的砝碼，另一端連在一固定的測(cè)力計(jì)上，手握細(xì)線直管掄動(dòng)砝碼，使它在豎直平面內(nèi)做半徑為L(zhǎng)的完整的圓周運(yùn)動(dòng)，停止掄動(dòng)細(xì)直管，砝碼可繼續(xù)在同一豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，且砝碼恰能通過圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，如圖所示．此時(shí)觀察得到當(dāng)砝碼運(yùn)動(dòng)到圓周最高點(diǎn)位置時(shí)，砝碼的速度為v．
已知引力常量為G，試根據(jù)題中所提供的條件和測(cè)量結(jié)果，求：
（1）該星球表面重力加速度；
（2）該星球的質(zhì)量M；
（3）若將物體置于該星體的赤道處，發(fā)現(xiàn)它對(duì)地面的壓力比在兩極處時(shí)物體對(duì)地面的壓力小10%，求該星體自轉(zhuǎn)周期．

Answer 1

（1）若砝碼恰能通過圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，則此時(shí)繩上作用力為零，物體所受重力提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力得：
mg=m

v2

L

代入數(shù)據(jù)得：星球表面的重力加速度g=

v2

L

（2）由于星球圍繞地軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故在兩極處有G=F_萬則有：
mg=G

mM

R2

∴M=

gR2

G

=

v2R2

GL

（3）在兩極處，由于地轉(zhuǎn)半徑為零，物體對(duì)地面的壓力大小等于物體受到的萬有引力，故在赤道處物體對(duì)地面的壓力為兩極處小10%，即物體受到地面的支持力為萬有引力的90%．
又物體受到星球的萬有引力和地面支持力的合力提供物體隨星球自轉(zhuǎn)的向心力，故有：
G

Mm

R2

(1-0.90)=mR(

2π

T

)2
T=2π

10R3 GM

代入M=

v2R2

GL

得T=2π

10RL v2

答：（1）該星球表面的重力加速度為g=

v2

L

（2）該星球的質(zhì)量為M=

v2R2

GL

（3）該星球的自轉(zhuǎn)周期為T=2π

10RL v2