Question

如圖所示，在圓柱形房屋天花板中心O點(diǎn)懸掛一根長為L的細(xì)繩，繩的下端掛一個(gè)質(zhì)量為m的小球，已知繩能承受的最大拉力為F_T=2mg，小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，當(dāng)小球速度慢慢地逐漸增大到繩斷裂后，小球恰好以速度v₂=

7gL

落到墻腳邊（小球下落過程中沒有與房屋發(fā)生碰撞，且不計(jì)空氣阻力）．求：
（1）繩斷裂瞬間小球的速度v₁
（2）繩斷裂瞬間小球地面的豎直高度h
（3）圓柱形房屋的半徑R．

Answer 1

分析：（1）小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解速度v₁；
（2）、（3）小球在繩子斷開后做平拋運(yùn)動，根據(jù)動能定理求得小球下落的高度h，由平拋運(yùn)動的規(guī)律和幾何知識求解半徑R．

解答：解：（1）繩斷裂瞬間，對小球的受力分析（如下圖），根據(jù)牛頓第二定律，有：
  F_Tcosθ=mg…①
  FTsinθ=m

v 2 1

r

…②
且  F_T=2mg…③
   r=Lsinθ…④
聯(lián)①②③④式，代入數(shù)據(jù)解得：θ=60°，v1=

3gL 2

…⑤
（2）小球從拋出至落地，由動能定理有：mgh=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

…⑥
代入數(shù)據(jù)，解得：h=

9

4

L…⑦
（3）繩斷后，小球做平拋運(yùn)動，且有：
  h=

1

2

gt2…⑧
  x=v₁t…⑨
  R=

(Lsinθ)2+x2

…⑩
解得：R=3L…（11）
答：（1）繩斷裂瞬間小球的速度v₁是

3 2 gL

．
（2）繩斷裂瞬間小球地面的豎直高度h是

9

4

L．
（3）圓柱形房屋的半徑R是3L．

點(diǎn)評：本題主要考查了平拋運(yùn)動的基本公式及向心力公式的應(yīng)用，要求同學(xué)們能畫出小球運(yùn)動的軌跡，能結(jié)合幾何關(guān)系解題，難度適中．