Question

13．如圖所示，從陰極k發(fā)射的電子經(jīng)電勢差為U₀=4500v的電場加速后，沿平行于板面的方向從中央射入兩塊長L₁=10cm．間距d=4cm的平行金屬板A，B，在距金屬板右邊緣L₂=25cm處建立一直線坐標系Oy，O與A．B板的中心線處在同一水平直線上，整個裝置放在真空室內(nèi)，電子發(fā)射的初速度不計．已知電子的質量，m=0.9×l0^-30kg，電子的電荷量e=1.6×l0^-19C，不計電子間的相互作用力及其所受重力．若在兩個金屬板間加上u_AB=500cos 2πt（V）的交流電壓，每個電子穿過極板的時間極短，可認為電子穿越期間極板間的電壓不變，不考慮電自運動的相對論效應．求：
（1）電子經(jīng)過坐標系的位置坐標范圍；
（2）若在直線坐標系的右側加上范圍足夠大的垂直紙面向外的勻強磁場B，B=4.5×10^-3T，求出電子第二次經(jīng)過直線坐標系的位置坐標范圍．

Answer 1

分析 （1）加速場運用動能定理求出末速度，進入偏轉場后做類平拋運動，運用運動的合成和分解結合牛頓第二定律以及運動學公式，求出電子恰好貼著極板右邊緣飛出偏轉電場時的偏轉位移y₁，并利用速度偏向角公式求出電子射出偏轉電場時的速度方向，再求出電子射出偏轉電場后做勻速直線運動過程在y方向的位移y₂，將兩次沿y方向運動的位移y₁和y₂加和，再利用對稱性即可求出電子經(jīng)過坐標系的位置坐標范圍；
（2）畫出最上面和最下面電子的臨界軌跡過程圖，利用洛倫茲力提供向心力結合幾何關系，即可求出電子第二次經(jīng)過直線坐標系的位置坐標范圍．

解答 （1）加速電場根據(jù)動能定理可得：${eU}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{o}^{2}$
解得：${v_o}=4×{10^7}m/s$
偏轉電場中，電子做類平拋運動，根據(jù)類平拋規(guī)律：
水平方向位移：L₁=v_ot…①
豎直方向位移：y₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$…②
根據(jù)牛頓第二定律可得：Eq=ma…③
根據(jù)勻強電場中電場強度與電勢差之間的關系式可得：E=$\frac{{U}_{AB}}5x3rd7d$…④
水平方向速度：v_x=v₀ …⑤
豎直方向速度：v_y=at…⑥
聯(lián)立①③④⑤⑥式可得粒子射出偏轉電場時速度偏向角的正切值：$tanθ=\frac{v_y}{v_x}=\frac{{{u_{AB}}{L_1}}}{{2d{u_o}}}$=$\frac{5}{36}$
聯(lián)立①②③④式子可得：${y_1}=\frac{1}{2}\frac{{{u_{AB}}e}}{dm}{t^2}=\frac{1}{144}m$
根據(jù)幾何關系可知，粒子射出偏轉電場后沿y方向的位移：${y_2}={L_2}tanθ=\frac{5}{144}m$
所以電子經(jīng)過坐標系的位置距O點的最大距離：$y={y_1}+{y_2}=\frac{1}{24}m≈$4.17cm
電子經(jīng)過坐標系的位置坐標范圍為：-4.17cm≤y≤4.17cm                          
（2）粒子進入磁場時速度大小：v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$  
粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力：evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：R=$\frac{mv}{eB}$=$\frac{m{v}_{0}}{eBcosθ}$
電子在磁場中做圓周運動后，在y方向位置變化量：△y=2Rcosθ=$\frac{2m{v}_{0}}{eB}$=0.1m=10cm
所以根據(jù)幾何關系可得：
y軸最上面位置：y_max=y+△y≈14.17cm
y軸最下面位置：y_min=△y-y≈5.83cm
綜上所述，范圍是：5.83cm≤y≤14.17cm
答：（1）電子經(jīng)過坐標系的位置坐標范圍為-4.17cm≤y≤4.17cm；
（2）若在直線坐標系的右側加上范圍足夠大的垂直紙面向外的勻強磁場B，B=4.5×10^-3T，電子第二次經(jīng)過直線坐標系的位置坐標范圍為5.83cm≤y≤14.17cm．

點評 本題考查帶電粒子在加速電場中的運動、偏轉電場中的類平拋運動以及勻強磁場中的勻速圓周運動；加速場運用動能定理，偏轉場用類平拋規(guī)律，粒子在磁場中的運動，運用洛倫茲力提供向心力與幾何關系結合去解決，解題關鍵是要畫出粒子軌跡過程圖，找到臨界幾何條件，對學生數(shù)學幾何能力要求較高．