Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系xoy的第二象限中，有方向沿x軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，在第一象限中，邊界OM和x軸之間有場(chǎng)強(qiáng)為E₂的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向與邊界OM平行；邊界OM和y軸之間有場(chǎng)強(qiáng)為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向與紙面垂直（邊界OM和x軸之間的夾角θ=45°）．坐標(biāo)系中有a、b、c、d四點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（-L，0）、（0，2L）、（2L，2L）、（2L，0）．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子（不計(jì)重力），由a點(diǎn)以v₀的初速度（方向沿y軸正向）射入電場(chǎng)，依次經(jīng)過(guò)b點(diǎn)和c點(diǎn)，最后通過(guò)d點(diǎn)．求：
（1）E₁的大�。�
（2）B的大小和方向；
（3）c、d兩點(diǎn)的電勢(shì)差．

Answer 1

分析：（1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中根據(jù)電場(chǎng)力提供合力使其做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式從而即可求解；
（2）由幾何關(guān)系可確定OD的距離，再由運(yùn)動(dòng)的分解可列出速度間的關(guān)系式，最后由運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑與周期公式，借助于已知長(zhǎng)度，來(lái)確定磁場(chǎng)大�。�
（3）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中E ₂中仍然做做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的軌跡確定沿電場(chǎng)方向的位移和垂直于電場(chǎng)方向的位移，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出電場(chǎng)強(qiáng)度，最后根據(jù)U=Ed計(jì)算出cd之間的電勢(shì)差．

解答：解：（1）粒子從a運(yùn)動(dòng)到b做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)所用時(shí)間為t₁，加速度為a₁，則由運(yùn)動(dòng)規(guī)律和牛頓第二定律有：
豎直方向：2L=v₀t₁
水平方向：L=

1

2

a1

t

2 1

           a1=

qE1

m

解得　E1=

m v 2 0

2qL

（2）設(shè)粒子通過(guò)b點(diǎn)時(shí)的速率為v_b，
由動(dòng)能定理得：

1

2

m

v

2 b

-

1

2

m

v

2 0

=qE1?L
得vb=

2

v 0
與豎直方向 夾角：cosθ=

v0

2 v0

=

2

2

得θ=45°
粒子由b點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
做過(guò)b點(diǎn)的速度的垂線(xiàn)，和bc的垂直平分線(xiàn)，確定圓心如圖，可知粒子垂直進(jìn)入電場(chǎng)E₂，由幾何關(guān)系可得圓軌道的半徑 r=

2

L
∵qvbB=m

v 2 b

r

，
∴B=

mv0

qL

方向垂直紙面向外　　　
（3）粒子由c點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)E₂后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)所用時(shí)間為t₂，加速度為a₂，則由運(yùn)動(dòng)規(guī)律和牛頓第二定律有：

2

L=

2

v0t2          

2

L=

1

2

a2

t

2 2

           a2=

qE2

m

解得　E2=

2 2 m v 2 0

qL

c、d兩點(diǎn)的電勢(shì)差：Ucd=E2?

2

L=

4m v 2 0

q

答：（1）E₁的大小

m v 2 0

2qL

；
（2）B的大小

mv0

qL

，方向垂直紙面向外；
（3）c、d兩點(diǎn)的電勢(shì)差

4m v 2 0

q

．

點(diǎn)評(píng)：粒子做類(lèi)平拋時(shí)，由牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式相結(jié)合來(lái)綜合運(yùn)用；在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由半徑公式與幾何關(guān)系來(lái)巧妙應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生在電學(xué)與力學(xué)綜合解題的能力．注意區(qū)別磁場(chǎng)的圓形與運(yùn)動(dòng)的軌跡的圓形的半徑不同．