Question

9．現代物理經常用磁場來研究同位素粒子，在xoy坐標系內有垂直于平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B．現有電荷量均為+q的a、b兩粒子從坐標原點O以相同速率v同時射入磁場，a沿x軸正方向，b沿y軸正方向，a粒子質量為m，b粒子質量為2m，不計粒子重力以及粒子間相互作用，求：
（1）當a粒子第1次剛到達y軸時，b粒子到達的位置坐標；
（2）a、b粒子是否會再次相遇？如能，請通過推導求出何時相遇；如不能，請簡要說明理由；
（3）設兩粒子在y軸上投影的距離為△y，則△y何時有最大值并求出△y的最大值．

Answer 1

分析 （1）離子做勻速圓周運動，洛侖茲力提供向心力，根據牛頓第二定律列式得到軌道半徑和周期的表達式進行分析；
（2）結合第一問的解答可知，b粒子的周期是a粒子的周期的2倍，故兩個離子一定會再次相遇，結合幾何關系分析，注意周期性；
（3）兩粒子均做勻速圓周運動，由于b粒子的周期是a粒子的周期的2倍，故b粒子到達最低點時，a粒子到達最高點，故兩粒子在y軸上投影的距離△y最大．

解答 解：（1）由$qvB=m\frac{v^2}{r}$可知：
a粒子半徑${r_1}=\frac{mv}{qB}$，
周期：${T_1}=\frac{2πm}{qB}$，
b粒子半徑${r_2}=\frac{2mv}{qB}=2{r_1}$，
周期：${T_2}=\frac{2π•2m}{qB}=2{T_1}$，
a粒子第1次剛到達y軸歷時：$△t=\frac{T_1}{2}=\frac{T_2}{4}$
故此時b粒子運動$\frac{1}{4}$周，位置坐標為（-$\frac{2mv}{qB}$，$\frac{2mv}{qB}$）；
（2）由圖可知：ab可能在O、P點再次相遇；
由于T₂=2T₁，
故a、b粒子經過t=T₂=$\frac{4πm}{qB}$在O點再次相遇，該過程粒子不可能在P點相遇，
所以a、b粒子在t=$\frac{4kπm}{qB}$（k=1、2、3…）時刻相遇；

（3）由第（1）問分析可知，當a粒子第二次到達其圓軌跡最高點時（即a粒子運動了$\frac{3}{2}{T}_{1}$），b粒子恰好在其圓軌跡的最低點，此時兩粒子在y軸上投影的距離△y最大．
考慮圓周運動的周期性，此后a粒子每運動兩周，b粒子運動一周，兩粒子在y軸上投影的距離△y再次最大．
所以$t=\frac{3}{2}{T_1}+n•2{T_1}=\frac{（4n+3）πm}{qB}$時△y最大，故：
$△{y_{max}}=4{r_1}=\frac{2mv}{qB}$；
答：（1）當a粒子第1次剛到達y軸時，b粒子到達的位置坐標為（-$\frac{2mv}{qB}$，$\frac{2mv}{qB}$）；
（2）a、b粒子在t=$\frac{4kπm}{qB}$（k=1、2、3…）時刻會再次相遇；
（3）設兩粒子在y軸上投影的距離為△y，則在$t=\frac{（4n+3）πm}{qB}$時有最大值，△y的最大值為$\frac{2mv}{qB}$．

點評 本題關鍵是明確兩個粒子均做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律得到軌道半徑關系和周期關系，然后結合幾何關系分析，不難．