Question

3．在xOy平面內(nèi)存在著如圖所示的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，其中二、四象限內(nèi)電場方向與y軸平行且大小相等、方向相反，一、三象限內(nèi)磁場方向垂直xOy平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.2T，一帶正電的粒子質(zhì)量m=2×10^-32kg、電荷量q=1×10^-30C，從第四象限內(nèi)的P（0.3m，-0.1m）點(diǎn)由靜止釋放，粒子垂直y軸方向進(jìn)入第二象限，粒子重力不計(jì)，求：
（1）電場的電場強(qiáng)度大小E；
（2）粒子第二次到達(dá)y軸的位置．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在第一象限中的偏轉(zhuǎn)角度由幾何關(guān)系得到運(yùn)動(dòng)半徑，進(jìn)而由洛倫茲力做向心力求得運(yùn)動(dòng)速率，即可根據(jù)粒子在第四象限做勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式和速度公式聯(lián)立求得電場強(qiáng)度；
（2）根據(jù)粒子在第二象限做類平拋運(yùn)動(dòng)求得粒子進(jìn)入第三象限的位置、速度大小及方向，然后由洛倫茲力做向心力求得在第三象限運(yùn)動(dòng)的半徑，即可由幾何關(guān)系求得位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）粒子從第四象限內(nèi)的P（0.3m，-0.1m）點(diǎn)由靜止釋放，只受豎直向上的電場力作用，加速度$a=\frac{qE}{m}$，
進(jìn)入第一象限時(shí)，速度方向豎直向上，速度大小$v=\sqrt{2ay}$（y=0.1m）；
粒子在第一象限中只受洛倫茲力，故洛倫茲力做向心力，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{qB}$；
粒子垂直y軸方向進(jìn)入第二象限，故粒子在第一象限中轉(zhuǎn)過的中心角為90°，所以，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑R=x=0.3m；
所以，$E=\frac{ma}{q}$=$\frac{m}{q}×\frac{{v}^{2}}{2y}$=$\frac{m}{2qy}×（\frac{BqR}{m}）^{2}=0.9N/C$；
（2）粒子進(jìn)入第二象限后做類平拋運(yùn)動(dòng)，加速度$a=\frac{qE}{m}=45m/{s}^{2}$，那么粒子在第二象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t=\sqrt{\frac{2R}{a}}=\frac{\sqrt{3}}{15}s$；
那么粒子進(jìn)入第三象限時(shí)水平向左的分速度${v}_{x}=v=\sqrt{2ay}=3m/s$，豎直向下的分速度${v}_{y}=at=3\sqrt{3}m/s$，所以，粒子速度$v′=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=6m/s$，
粒子進(jìn)入第三象限時(shí)距O點(diǎn)的距離$d=vt=\frac{\sqrt{3}}{5}m$；
粒子進(jìn)入第三象限后只受洛倫茲力，故洛倫茲力做向心力，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故有$Bv′q=\frac{mv{′}^{2}}{R′}$，所以，$R′=\frac{mv′}{qB}=0.6m$；
那么，由幾何關(guān)系可知：，粒子第二次到達(dá)y軸的位置的縱坐標(biāo)為$s=-R′sin30°-\sqrt{R{′}^{2}-[（R′-\fraclk2yc3q{cos30°}）cos30°]^{2}}$=$-\frac{3+\sqrt{33}}{10}m$；
故粒子第二次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為$（0，-\frac{3+\sqrt{33}}{10}m）$；
答：（1）電場的電場強(qiáng)度大小E為0.9N/C；
（2）粒子第二次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為$（0，-\frac{3+\sqrt{33}}{10}m）$．

點(diǎn)評 帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，可求得半徑的表達(dá)式，然后根據(jù)幾何關(guān)系求得粒子運(yùn)動(dòng)半徑、偏轉(zhuǎn)角、運(yùn)動(dòng)時(shí)間等．