Question

1．如圖，在xOy坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)、x≤1m的范圍中，存在以y=x²為上邊界的沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小E₁=2.0×10² N/C．在直線MN（方程為y=1m）的上方存在方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．在x=-1m處有一與y軸平行的接收板PQ，板兩端分別位于MN直線和x軸上；在第二象限，MN和PQ圍成的區(qū)域內(nèi)存在沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E₂．現(xiàn)有大量的帶正電粒子從x軸上0＜x≤1m的范圍內(nèi)同時(shí)由靜止釋放，粒子的比荷均為$\frac{q}{m}$=1.6×10⁵ C/kg，不計(jì)粒子的重力及其相互作用．
（1）求在x=0.5m處釋放的粒子射出電場E₁ 時(shí)的速度大小；
（2）若進(jìn)入磁場的所有帶電粒子均從MN上同一點(diǎn)離開磁場，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）若在第（2）問情況下所有帶電粒子均被PQ板接收，求電場強(qiáng)度E₂的最小值和在E₂最小的情況下最先打在接收板上的粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）加速場運(yùn)用動(dòng)能定理，求出速度，結(jié)合拋物線方程，二者聯(lián)立，即可求出粒子速度v；
（2）運(yùn)用洛倫茲力提供向心力求出半徑公式，結(jié)合臨界幾何關(guān)系聯(lián)立，即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）所有帶電粒子均被PQ板接收，粒子在E₂中做類平拋運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)的合成和分解結(jié)合牛頓第二定律，再找出臨界幾何條件，聯(lián)立即可求出E₂最小值，分別求每一個(gè)過程的時(shí)間，加和即可求出總時(shí)間．

解答 解：（1）由題意得，于x處釋放的粒子在電場中加速的位移為y，且滿足：y=x²…①
設(shè)射出電場E₁時(shí)的速度大小為v，由動(dòng)能定理可得：E₁qy=$\frac{1}{2}$mv²…②
由①②式可得：v=$x•\sqrt{\frac{2{E}_{1}q}{m}}$…③
代入x=0.5m可得：v=4×10³m/s
（2）粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為r，由牛頓第二定律可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…④
由③④式解得：：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m{E}_{1}}{q}}x$…⑤
由⑤式可得，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B一定時(shí)，軌道半徑r與x成正比，當(dāng)x趨近于零時(shí)時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑趨近于零，
即所有粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后都從C點(diǎn)射出磁場，且有：2r=x…⑥
由⑤⑥式可得：B=0.1T
（3）粒子從C點(diǎn)沿y軸負(fù)方向進(jìn)入電場強(qiáng)度大小為E₂的范圍后，都在電場力作用下做類平拋運(yùn)動(dòng)，
若所有帶電粒子均被PQ板接收，則從x=1m處出發(fā)的粒子剛好運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，對(duì)應(yīng)電場強(qiáng)度E₂的最小值E_2min，
設(shè)該粒子在場強(qiáng)大小為E_2min的電場中運(yùn)動(dòng)的初速度為v₁，時(shí)間為t₃，加速度為a₂，
有：E_2minq=ma₂…⑦
y=v₁t₃…⑧
x=$\frac{1}{2}$a₂t₃² …⑨
將x=1m，y=1m分別代入③⑧兩式，
聯(lián)立③⑦⑧⑨式可得：E_2min=8.0×10²N/C
由題意得，在E₂最小的情況下最先打在接收板上的粒子為從x=1m處出發(fā)的粒子，
設(shè)該粒子在場強(qiáng)大小為E₁的電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，
則有：E₁q=ma₁ …⑩
v₁=a₁t₁…⑪
在勻強(qiáng)磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角：θ=π
有：πr=v₁t₂…⑫
故該粒子所經(jīng)歷的總時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃…⑬
將x=1m，y=1m分別代入③⑧兩式，
聯(lián)立③⑧⑩⑪⑫⑬可得：t=$\frac{30+5π}{8}$×10^-4s≈5.7×10^-4s
答：（1）在x=0.5m處釋放的粒子射出電場E₁時(shí)的速度大小為4×10³m/s；
（2）若進(jìn)入磁場的所有帶電粒子均從MN上同一點(diǎn)離開磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為0.1T；
（3）若在第（2）問情況下所有帶電粒子均被PQ板接收，電場強(qiáng)度E₂的最小值為8.0×10²N/C，在E₂最小的情況下最先打在接收板上的粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間約為5.7×10^-4s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，分析問題時(shí)，要分好過程，針對(duì)每一個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)形式選擇合適的規(guī)律解題；粒子在加速電場中做加速運(yùn)動(dòng)運(yùn)用動(dòng)能定理解決，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用洛倫茲力提供向心力求出半徑公式，再與幾何關(guān)系聯(lián)立；粒子在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解．解題的關(guān)鍵在于臨界幾何條件的尋找，即：從x=1m處出發(fā)的粒子剛好運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，對(duì)應(yīng)電場強(qiáng)度E₂的最小值．