Question

如圖所示，質(zhì)量m₂=0.3kg的小車(chē)靜止在光滑的水平面上，距車(chē)的右端d=

1

6

m處有一固定的豎直擋板P．現(xiàn)有質(zhì)量為m₁=0.2kg可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊，以水平向右的速度v₀=2m/s從左端滑上小車(chē)，物塊與車(chē)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，小車(chē)與擋板碰撞將以原速率反彈，最終小物塊剛好在車(chē)面右端與小車(chē)保持相對(duì)靜止．整個(gè)過(guò)程物塊與擋板不會(huì)碰撞，取g=10m/s²．求：
（1）即將與擋板P相撞時(shí)小車(chē)的速度；
（2）小車(chē)長(zhǎng)L；
（3）若小車(chē)右端與擋板P之間的距離d可調(diào)，求出能讓小物塊剛好在車(chē)面右端保持相對(duì)靜止d的所有可能取值．

Answer 1

分析：（1）小車(chē)與墻壁碰撞之前，對(duì)小車(chē)，根據(jù)動(dòng)能定理列式求出小車(chē)的速度；假設(shè)物塊與小車(chē)碰前達(dá)到共速，小車(chē)與墻壁碰撞后，原速率反彈，之后小車(chē)與物塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，列式求出最后兩者共同的速度，作出判斷，得到即將與擋板P相撞時(shí)小車(chē)的速度；
（2）小車(chē)與小車(chē)即將與擋板碰撞時(shí)，由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒列式求出物塊的速度．小車(chē)與擋板碰后至小車(chē)與滑塊再次相對(duì)靜止的過(guò)程中，小車(chē)與滑塊為系統(tǒng)動(dòng)量守恒，列式求出共同速度．再根據(jù)能量守恒求解小車(chē)的長(zhǎng)度L；
（3）小車(chē)與擋板即將發(fā)生第n次碰撞之前，小車(chē)與物塊的動(dòng)量大小相等，在小車(chē)與擋板第n次碰撞之后，由動(dòng)量守恒可確定兩者相對(duì)靜止時(shí)，整體共同速度為零，系統(tǒng)末動(dòng)能為零．這樣的條件下物塊相對(duì)小車(chē)靜止在另外一端．運(yùn)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)量守恒結(jié)合分過(guò)程求解．

解答：解：（1）小車(chē)與墻壁碰撞之前，設(shè)速度為v₁，
對(duì)小車(chē)據(jù)動(dòng)能定理有：μm₁gd=

1

2

m₂v₁²-0
解得：v₁=

2

3

m/s                            
若碰前達(dá)到共速，據(jù)動(dòng)量守恒有：
 m₁v₀=（m₁+m₂）v_共
 v_共=

m1v0

m1+m2

=0.8（m/s）
因?yàn)?v₁=

2

3

 m/s＜v_共    
小車(chē)與墻壁碰撞之前速度為 v₁=

2

3

m/s
（2）小車(chē)即將與擋板碰撞時(shí)，設(shè)物體的速度為v₂ ．
 m₁v₀=m₁v₂+m₂v₁
v₂=1m/s
小車(chē)與擋板碰后至小車(chē)與滑塊再次相對(duì)靜止的過(guò)程中，小車(chē)與滑塊為系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)共速為v
 m₁v₂-m₂v₁=（m₁+m₂）v
解得：v=0
因小車(chē)與擋板碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失，據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒有
 μm₁gL=

1

2

m₁

v

2 0

                    
解得：L=1m
（3）若小車(chē)與擋板即將發(fā)生第n次碰撞之前，小車(chē)與物塊的動(dòng)量大小相等，則在小車(chē)與擋板第n次碰撞之后，據(jù)動(dòng)量守恒可確定兩者相對(duì)靜止時(shí)，整體共同速度為零，系統(tǒng)末動(dòng)能為零．這樣的條件下物塊相對(duì)小車(chē)靜止在另外一端．
令小車(chē)運(yùn)動(dòng)的加速度，據(jù)牛頓第二定律有：μm₁g=m₂a₁
解得：a₁=

4

3

（m/s²）
小車(chē)由靜止開(kāi)始勻加速至與擋板發(fā)生第一次碰撞之前，用時(shí)為t₀
 d=

1

2

a₁

t

2 0

此時(shí)小車(chē)的速度 v=a₁t₀
至小車(chē)即將與擋板發(fā)生第n次碰撞之前，用時(shí)t=（2n-1）t₀
此時(shí)，物塊速度為 v′，v′=v0-a₂t
且 m₁v=m₂v′
代入數(shù)據(jù)聯(lián)解可得：t₀=

1

2n

 d=

1

6n2

（m） （n=1，2，3…）
答：（1）即將與擋板P相撞時(shí)小車(chē)的速度為

2

3

m/s；
（2）小車(chē)長(zhǎng)L為1m；
（3）能讓小物塊剛好在車(chē)面右端保持相對(duì)靜止d的所有可能取值為 d=

1

6n2

（m） （n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng)：本題過(guò)程非常復(fù)雜，關(guān)鍵要把握每個(gè)過(guò)程的物理規(guī)律，對(duì)于系統(tǒng)，考慮動(dòng)量守恒和能量守恒．第3小問(wèn)，相當(dāng)于數(shù)列問(wèn)題，關(guān)鍵經(jīng)總結(jié)出規(guī)律進(jìn)行求解．