Question

19．如圖所示，在直角坐標(biāo)xoy平面中，第I、IV象限內(nèi)存在x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，直線MN與y軸平行，MN與y軸間的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)存在圖示垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，x軸為這兩個(gè)磁場(chǎng)的分界線．圖中P點(diǎn)到x軸和y軸的距離分別為（2+$\sqrt{3}$）L和L，現(xiàn)將一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電的粒子（重力不計(jì)）由電場(chǎng)中的P點(diǎn)無(wú)初速度釋放，粒子經(jīng)y軸進(jìn)入磁場(chǎng)后又從y軸上坐標(biāo)（0，$\sqrt{3}$L）處射出磁場(chǎng)，不計(jì)空氣阻力．
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（2）若僅改變電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，讓該帶電粒子以v₀=$\frac{\sqrt{3}qBL}{m}$從P點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射出時(shí)，粒子從坐標(biāo)（0，$\sqrt{3}$L）處射入磁場(chǎng)，求粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小和方向；
（3）若滿(mǎn)足（2）問(wèn)中的帶電粒子最終從笫三象限A的MN邊界射出磁場(chǎng)，且射出的速度方向與y軸正方向間的夾角為45°，則進(jìn)界MN與y軸之間的距離d應(yīng)滿(mǎn)足什么條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，得到粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度；然后根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系得到運(yùn)動(dòng)半徑，進(jìn)而得到速度，即可聯(lián)立求解電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）根據(jù)粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的位移、速度公式聯(lián)立求解；
（3）根據(jù)（2）求得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，然后由洛倫茲力做向心力求得運(yùn)動(dòng)半徑，進(jìn)而由幾何關(guān)系求得d的表達(dá)式．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力作用，加速度$a=\frac{qE}{m}$，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度$v=\sqrt{2ax}=\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$，速度沿x軸負(fù)向；
又有，粒子經(jīng)y軸進(jìn)入磁場(chǎng)后又從y軸上坐標(biāo)（0，$\sqrt{3}$L）處射出磁場(chǎng)，故帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑${R}_{1}=\frac{（2+\sqrt{3}）L-\sqrt{3}L}{2}=L$；
又有粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，故有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{1}}$，所以，$v=\frac{Bq{R}_{1}}{m}=\frac{BqL}{m}$；
所以，$E=\frac{m{v}^{2}}{2qL}=\frac{{B}^{2}qL}{2m}$；
（2）若僅改變電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，粒子在電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力作用，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)；
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v′，方向與y軸負(fù)向夾角為θ，粒子平行于x軸方向的分速度為v_x，由平拋運(yùn)動(dòng)位移規(guī)律可得：2L=v₀t，$L=\frac{1}{2}a{t}^{2}$；
所以，v_x=at=v₀，$v′=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{x}}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}=\frac{\sqrt{6}qBL}{m}$，$θ=arctan\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}=45°$；
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，故半徑$R′=\frac{mv′}{qB}=\sqrt{6}L$；故帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，

由幾何關(guān)系可知，粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在x軸上，坐標(biāo)為$（\sqrt{3}L，0）$，故粒子將垂直x軸進(jìn)入x軸下方磁場(chǎng)；
帶電粒子最終從笫三象限的MN邊界射出磁場(chǎng)，且射出的速度方向與y軸正方向間的夾角為45°，那么由圖中幾何關(guān)系可得：
$d=R′-R′sin45°+R′+R′cos45°+4nR′=（4n+2）R′=（4n+2）\sqrt{6}L，n=0，1，2，3，…$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{{B}^{2}qL}{2m}$；
（2）若僅改變電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，讓該帶電粒子以v₀=$\frac{\sqrt{3}qBL}{m}$從P點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射出時(shí)，粒子從坐標(biāo)（0，$\sqrt{3}$L）處射入磁場(chǎng)，則粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{6}qBL}{m}$，方向：與y軸負(fù)向夾角為45°；
（3）若滿(mǎn)足（2）問(wèn)中的帶電粒子最終從笫三象限A的MN邊界射出磁場(chǎng)，且射出的速度方向與y軸正方向間的夾角為45°，則進(jìn)界MN與y軸之間的距離d為$（4n+2）\sqrt{6}L，n=0，1，2，3，…$

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，一般先由牛頓第二定律求得半徑，然后根據(jù)幾何關(guān)系求取半徑，即可聯(lián)立求解．